计算2的极大功率

Question

我用Java编写了一个计算2的幂的程序,但它看起来非常低效.对于较小的功率(比如2 ^ 4000),它可以在不到一秒的时间内完成.但是,我正在考虑计算2 ^ 43112609,这比最大的已知素数大一个.超过1200万个数字,运行需要很长时间.到目前为止,这是我的代码:

import java.io.*;

public class Power
{
 private static byte x = 2;
 private static int y = 43112609;
 private static byte[] a = {x};
 private static byte[] b = {1};
 private static byte[] product;
 private static int size = 2;
 private static int prev = 1;
 private static int count = 0;
 private static int delay = 0;
 public static void main(String[] args) throws IOException
 {
  File f = new File("number.txt");
  FileOutputStream output = new FileOutputStream(f);
  for (int z = 0; z < y; z++)
  {
   product = new byte[size];
   for (int i = 0; i < a.length; i++)
   {
    for (int j = 0; j < b.length; j++)
    {
     product[i+j] += (byte) (a[i] * b[j]);
     checkPlaceValue(i + j);
    }
   }
   b = product;
   for (int i = product.length - 1; i > product.length - 2; i--)
   {
    if (product[i] != 0)
    {
     size++;
     if (delay >= 500) 
     {
      delay = 0;
      System.out.print(".");
     }
     delay++;
    }
   }
  }
  String str = "";
  for (int i = (product[product.length-1] == 0) ? 
   product.length - 2 : product.length - 1; i >= 0; i--)
  {
   System.out.print(product[i]);
   str += product[i];
  }
  output.write(str.getBytes());
  output.flush();
  output.close();
  System.out.println();
 }

 public static void checkPlaceValue(int placeValue)
 {
  if (product[placeValue] > 9)
  {
   byte remainder = (byte) (product[placeValue] / 10);
   product[placeValue] -= 10 * remainder;
   product[placeValue + 1] += remainder;
   checkPlaceValue(placeValue + 1);
  }
 }  
}

这不适用于学校项目或其他任何事情; 就是图个好玩儿.任何有关如何提高效率的帮助将不胜感激!谢谢!

凯尔

PS我没有提到输出应该是基数10,而不是二进制.

Answer 1

这里的关键是要注意:

2^2 = 4
2^4 = (2^2)*(2^2)
2^8 = (2^4)*(2^4)
2^16 = (2^8)*(2^8)
2^32 = (2^16)*(2^16)
2^64 = (2^32)*(2^32)
2^128 = (2^64)*(2^64)
... and in total of 25 steps ...
2^33554432 = (2^16777216)*(16777216)

然后:

2^43112609 = (2^33554432) * (2^9558177)

你可以(2^9558177)使用相同的方法找到剩余的,因为(2^9558177 = 2^8388608 * 2^1169569),你可以找到2^1169569使用相同的方法,因为(2^1169569 = 2^1048576 * 2^120993),你可以找到2^120993使用相同的方法,等等......

编辑:以前在这一部分有一个错误,现在它已修复:

此外,通过注意:进一步简化和优化:

2^43112609 = 2^(0b10100100011101100010100001)
2^43112609 = 
      (2^(1*33554432))
    * (2^(0*16777216))
    * (2^(1*8388608))
    * (2^(0*4194304))
    * (2^(0*2097152))
    * (2^(1*1048576))
    * (2^(0*524288))
    * (2^(0*262144))
    * (2^(0*131072))
    * (2^(1*65536))
    * (2^(1*32768))
    * (2^(1*16384))
    * (2^(0*8192))
    * (2^(1*4096))
    * (2^(1*2048))
    * (2^(0*1024))
    * (2^(0*512))
    * (2^(0*256))
    * (2^(1*128))
    * (2^(0*64))
    * (2^(1*32))
    * (2^(0*16))
    * (2^(0*8))
    * (2^(0*4))
    * (2^(0*2))
    * (2^(1*1))

另请注意 2^(0*n) = 2^0 = 1

使用这种算法,可以计算的表2^1,2^2,2^4,2^8,2^16... 2^3355443225个乘法.然后,您可以转换43112609为其二进制表示,并2^43112609使用少于25次乘法轻松找到.总的来说,您需要使用少于50次的乘法来查找介于0和67108864之间的任何2^n位置n.

Answer 2

以二进制显示它既简单又快捷 - 尽可能快地写入磁盘!100000 ......:D

Answer 3

设n = 43112609.

假设:您想要以十进制打印2 ^ n .

填充比二进制代表2 ^ n的位向量是微不足道的,将该数字转换为十进制表示法需要一段时间.例如,java.math.BigInteger.toString的实现需要O(n ^ 2)次操作.这可能就是原因

BigInteger.ONE.shiftLeft(43112609).toString()

执行一小时后仍然没有终止...

让我们从你的算法的渐近分析开始.你的外循环将执行n次.对于每次迭代,您将执行另一个O(n ^ 2)操作.也就是说,您的算法为O(n ^ 3),因此预期可扩展性较差.

您可以通过使用将其减少到O(n ^ 2 log n)

x ^ 64 = x ^(2*2*2*2*2*2)=(((((((x ^ 2)^ 2)^ 2)^ 2)^ 2)^ 2

(只需要8次乘法)而不是64次乘法

x ^ 64 = x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*x*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X*X

(推广到任意指数留给你作为练习.提示:将指数写为二进制数 - 或者看看Lie Ryan的答案).

为了加速乘法,您可以使用Karatsuba算法,将总运行时间减少到O(n ^((log 3)/(log 2))log n).

Answer 4

如上所述,2的幂对应于二进制数字.二进制是基数2,因此每个数字是前一个数字的两倍.

例如:

    1 = 2^0 = b1
    2 = 2^1 = b10
    4 = 2^2 = b100
    8 = 2^3 = b1000
    ...

二进制是基数2(这就是为什么它被称为"基数2",2是指数的基数),所以每个数字是前一个数字的两倍.移位运算符(大多数语言中的"<<")用于将每个二进制数字向左移位,每个移位相当于乘以2.

例如:

1 << 6 = 2^6 = 64

作为这样一个简单的二进制操作,大多数处理器可以非常快速地为可以放入寄存器的数字(8-64位,取决于处理器)执行此操作.使用更大的数字需要某种类型的抽象(例如Bignum),但它仍然应该是一个非常快速的操作.不过,这样做43112609位需要一些工作.

为了给你一点背景,2 << 4311260(缺少最后一位数)是1297181位长.确保您有足够的RAM来处理输出编号,如果您的计算机没有交换到磁盘,这将削弱您的执行速度.

由于程序非常简单,还可以考虑切换到直接编译成汇编的语言,例如C.

事实上,产生价值是微不足道的(我们已经知道了答案,其中一个是43112609零).将其转换为十进制需要相当长的时间.