计算面法线和缠绕

Question

给定一个凸多面体，其顶点定义为 (x, y, z)，指定多面体的面。

如何计算多面体每个面的表面法线？

我需要表面法线来计算顶点法线来执行Gouraud 着色。我能找到的关于如何做到这一点的唯一线索是 Newell 的方法，但我如何确保法线是向外法线而不是向内法线？谢谢你的帮助。

Answer 1

计算面法线

您必须计算跨越包含给定面的平面的两个向量的叉积。它为您提供了该面的（非单位）法向量。您必须对其进行规范化，然后就完成了。

如果x0, x1,x2是三角形面的顶点，则法线可以计算为

vector3 get_normal(vector3 x0, vector3 x1, vector3 x2)
{
    vector3 v0 = x0 - x2;
    vector3 v1 = x1 - x2;
    vector3 n = cross(v0, v1);

    return normalize(n);
}

请注意，叉积遵循右手法则：

右手法则指出向量的叉积的方向是通过将u和v尾对尾放置，将右手展平，在u的方向上延伸，然后将手指朝该方向卷曲来确定的v与u的夹角。然后拇指指向cross(u, v)的方向。

定位你的三角形

为确保所有法线都指向多面体的内部/外部，三角形必须一致定向，这意味着所有顶点必须遵循逆时针 (CCW) 或顺时针 (CW) 顺序。这在计算机图形学中也称为缠绕。

您可以通过计算下面矩阵的行列式来检查三角形的方向，其中x3第四个点是测试期间的视点。

| x0.x  x0.y  x0.z  1 |
| x1.x  x1.y  x1.z  1 |
| x2.x  x2.y  x2.z  1 |
| x3.x  x3.y  x3.z  1 |

• 行列式 > 0： x3位于+由 CCW 点定义的平面的一侧{ x0, x1, x2 }
• 行列式 < 0： x3位于-由 CCW 点定义的平面的一侧{ x0, x1, x2 }
• 行列式 = 0： x3与{ x0, x1, x2 }

旋转顶点的顺序（通过向左或向右移动所有顶点）不会改变方向。因此{ x0, x1, x2 }与{ x2, x0, x1 }和具有相同的方向{ x1, x2, x0 }。

但是，如果交换两个连续元素的顺序，也会交换到相反的方向。这意味着与{ x0, x1, x2 }具有相反的方向{ x1, x0, x2 }。

使用此信息，您可以轻松地确定三角形的方向：使用谓词矩阵测试每个三角形。如果测试失败，只需交换任意两个连续顶点元素的顺序即可解决问题。