优化 Mathematica 中的插值

Question

作为我工作的一部分，我经常需要可视化复杂的 3 维密度。我使用的一个程序套件将密度的径向分量输出为对数网格上的一组 781 个点，ri = (Rmax/Rstep)^((i-1)/(pts-1)乘以球谐函数。对于低对称性系统，球谐函数的数量可以相当大以确保精度，例如，一个系统需要对应于 的 49 个谐波lmax = 6。因此，要在 Mathematica 中使用这些数据，我需要计算最多 49 个插值函数的总和，每个函数都乘以不同的球谐函数。在使用 v.6 并使用Interpolation和 设置构建插值径向函数时r = Sqrt(x^2 + y^2 + z^2)，我会 ContourPlot3D在一个多小时后停止，没有任何显示。这包括将InterpolationOrder和 都减少MaxRecursion到 1。

出现了几种替代方案：

1. 评估固定网格上的密度函数，ListContourPlot然后使用。
2. 或者，对径向函数进行线性样条并用于Piecewise将它们缝合在一起。（这本身就出现了，因为我可以使用简化来帮助降低结果函数的复杂性。）

我最终使用了两者，因为InterpolatingFunction它的评估有明显的延迟，并且有多达 49 个插值函数需要评估，任何延迟都会变得明显。另外，ContourPlot3D样条线速度更快，但它没有给我带来我想要的速度。

我坦白承认，我没有Interpolation在 v.7 上尝试过，也没有在升级后的硬件（G4 v. Intel Core i5）上尝试过。然而，我正在寻找当前方案的替代方案；最好是我可以ContourPlot3D直接使用的。我可以尝试其他形式的样条曲线，例如B-spline，并可能将其与 结合起来UnitBox而不是使用Piecewise.

编辑：为了澄清，我当前的实现涉及为每个径向部分创建一阶样条，将每个样条乘以各自的球谐函数，对Simplify每个径向间隔上的方程求和并进行求和，然后使用Piecewise将它们绑定到一个函数中。因此，我的实现是半解析的，因为球谐函数是精确的，并且只有径向部分是数值的。这是我希望能够使用 的部分原因ContourPlot3D，以便我可以利用数据的半分析性质。值得注意的是，径向网格足够精细，可以生成径向部分的良好表示，并且可以平滑地进行插值。虽然这给了我显着的加速，但当我编写代码时，对于我当时使用的硬件来说，速度仍然很慢。

因此，ContourPlot3D我不会使用 ，而是首先生成函数，如上所述，然后在 80 ³笛卡尔网格上对其进行评估。我在 中使用的就是这一步的数据ListContourPlot3D。由于这不是自适应网格，因此在某些地方这太当然了，而且我缺少功能。

Answer 1

如果你可以不用 Mathematica，我建议你看一下Paraview（美国政府资助的 FOSS，所有平台），我发现它在可视化大量数据方面优于一切。该软件的核心是“可视化工具包” VTK，如果需要，您可以找到/编写其他前端。

VTK/Paraview 可以处理几乎任何数据类型：结构化网格上的标量和向量或随机点、多边形、时间序列数据等。在 Mathematica 中，我经常将网格数据转储为 VTK 旧格式，在最简单的情况下，它看起来像这样

# vtk DataFile Version 2.0
Generated by mma via vtkGridDump

ASCII

DATASET STRUCTURED_POINTS
DIMENSIONS 49 25 15
SPACING 0.125 0.125 0.0625
ORIGIN 8.5 5. 0.7124999999999999

POINT_DATA 18375
SCALARS  RF_pondpot_1V1MHz1amu  double 1
LOOKUP_TABLE default

0.04709501616121583
0.04135197485227461
... <18373 more numbers> ...

哈！