本征线性代数求解器似乎很慢

Question

我想使用本征求解器求解线性代数方程Ax = b。在我的情况下，A是复杂的稀疏矩阵（26410 * 26410），b是实向量（26410 * 1）。

我在MATLAB中使用mex文件将稀疏矩阵A和向量b映射为Eigen接受的格式。我使用Eigen求解器的原因是希望它比使用MATLAB直接在MATLAB中求解更快x = A\b。

但是，在尝试了LDLT，SparseLU，CG和BiCGSTAB之后，我发现结果不是很令人满意：

LDLT需要1.462s norm(A*x - b)/norm(b) = 331; SparseLU用1.5193e-4赢得37.994s; BiCGSTAB成绩为95.217秒，成绩为4.5977e-4；相比之下，直接x = A\b在MATLAB中使用会消耗13.992s的时间，误差标准为2.606e-5。

我知道将MATLAB工作空间中的稀疏矩阵A和向量b映射到Eigen有点愚蠢并且也很费时间。但是我想知道我得到的结果是否是Eigen可以提供的最佳结果？有人可以给我一些指示吗？我应该尝试其他线性方程求解器吗？在此先多谢！以下是代码的主要部分。

void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[], int nrhs, const mxArray *prhs[]) {

    //input vars

    //temp var
    size_t nrows;

    //output vars
    //double *x;

    //GetData
    /* check inputs 
    ...*/

    //"mxArray2SCM" is a sub-function for map the complex sparse matrix in Eigen
    SpCMat A = mxArray2SCM(prhs[0]);
    //SpMat A = mxArray2SM(prhs[0]);

    //"mxArray2ECV" is a sub-function for map the real vector in Eigen
    Eigen::VectorXcd b = mxArray2ECV(prhs[1]);
    //Eigen::VectorXd b = mxArray2EV(prhs[1]);   
    nrows = b.size();
    //Computation
    Eigen::VectorXcd x(nrows);
    //SparseLU<SparseMatrix<CD> > solver;
    BiCGSTAB<SparseMatrix<CD>,IncompleteLUT<CD> > BiCG;
    //BiCG.preconditioner().setDroptol(0.001);
    BiCG.compute(A);
    if(BiCG.info()!=Success){
        //decomposition failed
        return;
    }
    x = BiCG.solve(b);

    //Output results
    plhs[0] = ECV2mxArray(x);   
}

Answer 1

您是否考虑过使用PetSc for Krylov 求解器或SLEPc来计算特征值？

确保在使用特定的 Krylov 求解器之前分析特征谱（CG 仅适用于对称正定矩阵）。

PETSc 有很多求解器，您可以根据您的特征谱进行尝试。

您可以查看Y. Saad 的书，了解这些求解器的工作原理。

如果您的矩阵不是对称正定 GMRES 是一个不错的选择。