翻译四元数

Question

（也许这对数学堆栈交换更好？）

我有一个由骨头组成的链条。每块骨头都有一个尖端和尾巴。下面的代码计算它的尖端的位置，给定一个旋转，并适当地设置链位置中的下一个链接：

    // Quaternion is a hand-rolled class that works correctly (as far as I can tell.)
    Quaternion quat = new Quaternion(getRotationAngleDegrees(), getRotation());

    // figure out where the tip will be after applying the rotation
    Vector3f rotatedTip = quat.applyRotationTo(tip);

    // set the next bone's tail to be at this one's tip
    updateNextPosFrom(rotatedTip);

如果旋转应该围绕对象坐标系的原点发生，则此方法有效。但是，如果我希望围绕对象中的其他任意点进行旋转呢？我不知道如何翻译四元数。最好的方法是什么？

（我正在使用 JOGL/OpenGL。）

Answer 1

双四元数对于表达刚性空间变换（组合旋转和平移）很有用。

基于对偶数（Clifford 代数之一，d = a + eb，其中 a、b 是实数，e 不等于零但 e^2 = 0），对偶四元数 U + e V 可以表示空间中的线U 是单位方向四元数，V 是关于参考点的力矩。这样，双四元数线与普卢克线非常相似。

虽然四元数变换 QVQ*（Q* 是 Q 的四元数共轭）用于围绕一个点旋转单位向量四元数 V，但可以使用类似的对偶四元数形式来应用螺旋变换（围绕一个点的刚性旋转）。轴与沿轴的平移相结合。）

正如任何刚性 2D 变换都可以解析为围绕点的旋转一样，任何刚性 3D 变换都可以解析为螺钉。

对于这样的力量和表现力，对偶四元数的引用很少，维基百科文章是一个很好的起点。