C++中非常快速的近似Logarithm(自然日志)函数？

Question

我们发现要替换的各种技巧std::sqrt(Timing Square Root)和一些std::exp(使用更快的指数近似),但我找不到任何可替代的东西std::log.

它是我程序中循环的一部分,它被多次调用,而exp和sqrt被优化,英特尔VTune现在建议我进行优化std::log,之后似乎只有我的设计选择才会受到限制.

现在我使用的第三阶泰勒近似ln(1+x)与x之间-0.5和+0.5(对于4%最大误差的情况下的%90)和回退到std::log否则.这让我加速了15%.

Answer 1

在开始设计和部署针对性能的超越函数的定制实现之前,强烈建议在算法级别以及通过工具链进行优化.不幸的是,我们没有关于要在此优化的代码的任何信息,也没有关于工具链的信息.

在算法级别,检查是否真正需要所有对超越函数的调用.也许存在需要较少函数调用的数学变换,或者将超越函数转换为代数运算.是否有任何超越函数调用可能是冗余的,例如因为计算是不必要地切换进出对数空间？如果精度要求适中,整个计算能否以单一精度执行,float而不是使用double整个？在大多数硬件平台上,避免double计算可以显着提高性能.

编译器倾向于提供各种影响数字密集型代码性能的开关.除了增加一般优化级别之外-O3,通常还有一种方法可以关闭非正常支持,即打开flush-to-zero或FTZ模式.这在各种硬件平台上具有性能优势.此外,通常还有一个"快速数学"标志,其使用会导致精度略有降低,并消除处理特殊情况(如NaN和无穷大)的开销,以及处理errno.一些编译器还支持代码的自动矢量化,并附带SIMD数学库,例如英特尔编译器.

一个对数函数的自定义实现通常涉及二进制浮点参数分离x成指数e和尾数m,使得x = m * 2e,因此log(x) = log(2) * e + log(m).m选择使得它接近于单位,因为这提供了有效的近似,例如log(m) = log(1+f) = log1p(f)通过最小极大多项式近似.

C++提供了frexp()将浮点操作数分隔为尾数和指数的函数,但实际上,通常使用更快的机器特定方法,通过将它们重新解释为相同大小的整数来操作位级别的浮点数据.下面的单精度对数代码logf()演示了这两种变体.功能__int_as_float()并__float_as_int()提供重新解释为int32_tIEEE-754 binary32浮点数,反之亦然.此代码严重依赖于大多数当前处理器,CPU或GPU上的硬件中直接支持的融合乘法 - 加法运算FMA.在fmaf()映射到软件仿真的平台上,此代码的速度会慢得令人无法接受.

#include <cmath>
#include <cstdint>

/* compute natural logarithm, maximum error 0.85756 ulps */
float my_logf (float a)
{
    float m, r, s, t, i, f;
    int32_t e;

    if ((a > 0.0f) && (a <= 3.40282347e+38f)) { // 0x1.fffffep+127
#if PORTABLE
        m = frexpf (a, &e);
        if (m < 0.666666667f) {
            m = m + m;
            e = e - 1;
        }
        i = (float)e;
#else // PORTABLE
        i = 0.0f;
        /* fix up denormal inputs */
        if (a < 1.175494351e-38f){ // 0x1.0p-126
            a = a * 8388608.0f; // 0x1.0p+23
            i = -23.0f;
        }
        e = (__float_as_int (a) - 0x3f2aaaab) & 0xff800000;
        m = __int_as_float (__float_as_int (a) - e);
        i = fmaf ((float)e, 1.19209290e-7f, i); // 0x1.0p-23
#endif // PORTABLE
        /* m in [2/3, 4/3] */
        f = m - 1.0f;
        s = f * f;
        /* Compute log1p(f) for f in [-1/3, 1/3] */
        r = fmaf (-0.130187988f, f, 0.140889585f); // -0x1.0aa000p-3, 0x1.208ab8p-3
        t = fmaf (-0.121489584f, f, 0.139809534f); // -0x1.f19f10p-4, 0x1.1e5476p-3
        r = fmaf (r, s, t);
        r = fmaf (r, f, -0.166845024f); // -0x1.55b2d8p-3
        r = fmaf (r, f,  0.200121149f); //  0x1.99d91ep-3
        r = fmaf (r, f, -0.249996364f); // -0x1.fffe18p-3
        r = fmaf (r, f,  0.333331943f); //  0x1.5554f8p-2
        r = fmaf (r, f, -0.500000000f); // -0x1.000000p-1
        r = fmaf (r, s, f);
        r = fmaf (i, 0.693147182f, r); //   0x1.62e430p-1 // log(2) 
    } else {
        r = a + a;  // silence NaNs if necessary
        if (a  < 0.0f) r =  0.0f / 0.0f; //  NaN
        if (a == 0.0f) r = -1.0f / 0.0f; // -Inf
    }
    return r;
}

如代码注释中所述,上面的实现提供了忠实的单精度结果,并且它处理符合IEEE-754浮点标准的特殊情况.通过消除特殊情况支持,消除对非正规参数的支持以及降低准确性,可以进一步提高性能.这导致以下示例性变体:

/* natural log on [0x1.f7a5ecp-127, 0x1.fffffep127]. Maximum relative error 9.4529e-5 */
float my_faster_logf (float a)
{
    float m, r, s, t, i, f;
    int32_t e;

    e = (__float_as_int (a) - 0x3f2aaaab) & 0xff800000;
    m = __int_as_float (__float_as_int (a) - e);
    i = (float)e * 1.19209290e-7f; // 0x1.0p-23
    /* m in [2/3, 4/3] */
    f = m - 1.0f;
    s = f * f;
    /* Compute log1p(f) for f in [-1/3, 1/3] */
    r = fmaf (0.230836749f, f, -0.279208571f); // 0x1.d8c0f0p-3, -0x1.1de8dap-2
    t = fmaf (0.331826031f, f, -0.498910338f); // 0x1.53ca34p-2, -0x1.fee25ap-2
    r = fmaf (r, s, t);
    r = fmaf (r, s, f);
    r = fmaf (i, 0.693147182f, r); // 0x1.62e430p-1 // log(2) 
    return r;
}