对于无符号乘法和有符号乘法，有多少个最低有效位相同？

Question

例如，ARM 处理器有一条mul指令，它执行 32 位 x 32 位乘法并返回结果的最低有效 32 位。它们还有umull和smull指令，再次执行 32 位 x 32 位乘法，但返回完整的 64 位结果。umull进行无符号乘法，并smull进行有符号乘法。

为什么不需要单独的未签名和签名版本mul？在 32 位 x 32 位乘法的情况下，结果的最低有效 32 位在这两种情况下可能是相同的？32 位是完全相同的还是比 32 位更多？

更一般地，在 m 位 x n 位乘法（产生 (m+n) 位结果）的情况下，无符号乘法和有符号乘法的最低有效位有多少个相同？

Answer 1

你可以用铅笔和纸来做这个...小学风格

-1 * 3 = -3, 7 * 3 = 21 smull 与 umull

0b111*0b011

   111111
*  000011
==========
   111111
  111111
 000000
 ...
+
==========
 11111101

（从技术上讲，符号的扩展范围与内部 alu 输入一样宽）

这是-3

采用相同的 3 位数字，但使用 umull

0b111*0b011

      000111
*     000011
=============
      000111
     000111
    000000
+  ...
==============
     0010101 

结果是 21。

二进制补码的美妙之处在于，加法和减法使用相同的逻辑，但乘法和除法必须符号扩展才能得到正确的答案，这就是问题所在。无符号符号扩展零，有符号符号扩展符号。最差情况下乘以存储结果所需位数的两倍，因此需要使用 32 位操作数来完成 16 位乘 16 乘法，并且填充到高 16 位的内容在有符号乘法和无符号乘法之间有所不同。一旦你签署了扩展，那么确保你可以提供相同的乘法逻辑，因为那里没有区别。我想有人可能会争辩说，这也是加法和减法的工作原理，您输入相同的加法器逻辑的内容会根据加法与减法的不同而变化，同样，您最后取出的内容也可能会有所不同（如果您反转进位位将其称为借位）

现在，根据你的问题，是的，如果你输入 3 位乘 3 位，并且只查看输出的 3 个较低位，这几乎总是错误的答案，但无论如何都是相同的小学数学

   AAAabc
   DDDdef
=========
   AAAabc
  AAAabc
 AAAabc
AAAabc
...
===========

3x3 位输入的低 3 位严格由原始 3 位输入决定，umull 和 smull 之间变化的符号扩展不发挥作用。这是一个有趣的练习，但在现实世界中没有太多用途，大多数操作数组合都会溢出，但比例很高。

如果对 M * N 位重复此练习，则应该是 M 或 N 位中较小的一个不受符号扩展影响。这个简单的练习留给读者。