R中的矩阵和向量乘法运算

Question

我觉得R中的矩阵运算非常令人困惑：我们正在混合行向量和列向量。

• 在这里，我们定义x1为向量（我假设R默认向量是列向量吗？但它没有显示它是以这种方式排列的。）

• 然后我们定义x2的转置x1，这对我来说也很奇怪。

• 最后，如果我们定义x3为矩阵，则显示效果会更好。

现在，我的问题是，x1和x2是完全不同的东西（一个是另一个转），但我们这里有同样的结果。

有什么解释吗？可能我不应该将向量和矩阵运算混合在一起吗？

x1 = c(1:3)
x2 = t(x1)
x3 = matrix(c(1:3), ncol = 1)

x1
[1] 1 2 3

x2
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    3

x3
     [,1]
[1,]    1
[2,]    2
[3,]    3

x3 %*% x1
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    3
[2,]    2    4    6
[3,]    3    6    9

x3 %*% x2
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    1    2    3
[2,]    2    4    6
[3,]    3    6    9

Answer 1

见?`%*%`：

描述：

 Multiplies two matrices, if they are conformable.  If one argument
 is a vector, it will be promoted to either a row or column matrix
 to make the two arguments conformable.  If both are vectors of the
 same length, it will return the inner product (as a matrix).

Answer 2

长度为 3 的数值向量不是“列向量”，因为它没有维度。然而，它确实被 %*% 处理，就好像它是一个维度为 1 x 3 的矩阵一样，因为它成功了：

 x <- 1:3
 A <- matrix(1:12, 3)
 x %*% A
#------------------
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]   14   32   50   68
#----also----
 crossprod(x,A)   # which is actually t(x) %*% A (surprisingly successful)

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]   14   32   50   68

而这并不：

 A %*% x
#Error in A %*% x : non-conformable arguments

将原子向量与维度为 nx 1 的矩阵同等对待是有意义的，因为 R 使用列主索引处理其矩阵运算。R 结合性规则从左到右进行，所以这也成功：

  y <- 1:4
 x %*% A %*% y
#--------------    
 [,1]
[1,]  500

请注意，as.matrix遵守此规则：

> as.matrix(x)
     [,1]
[1,]    1
[2,]    2
[3,]    3

我认为您应该阅读?crossprod帮助页面以了解更多详细信息和背景。