numpy 可以用实数运算对斜对称矩阵进行对角化吗？

Question

任何斜对称矩阵 ( A^T = -A ) 都可以转换为埃尔米特矩阵 ( iA ) 并用复数对角化。但也可以通过特殊的正交变换将其转化为块对角形式，并仅使用实数算术找到其特征值。这是在 numpy 中的任何地方实现的吗？

Answer 1

我们来看看dgeev()LAPACK库的功能。该例程计算任何实数双精度方阵的特征值。而且，这个例程就在numpy.linalg.eigvals()numpy 库的 python 函数后面。

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LAPACK 的文档dgeev()中描述了所使用的方法。它需要将矩阵简化为其实 Schur 形式。A S

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任何实数方阵都A可以表示为：

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A=QSQ^t

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在哪里：

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• Q是实正交矩阵：QQ^t=I
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• S是实块上三角矩阵。S 对角线上的块的大小为 1\xc3\x971 或 2\xc3\x972。
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事实上，如果A是斜对称的，则这种分解似乎非常接近 通过 的特殊正交变换获得的块对角形式A。而且，确实看到S斜对称矩阵的Schur 形式A是……斜对称的！

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事实上，让我们计算 的转置S：

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S^t=(Q^tAQ)^t\nS^t=Q^t(Q^tA)^t\nS^t=Q^tA^tQ\nS^t=Q^t(-A)Q\nS^t=-Q^tAQ\nS^t=-S\n

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因此，如果Q是特殊正交 ( det(Q)=1)，S是通过特殊正交变换获得的块对角形式。P另外，可以通过排列 的前两列来计算特殊的正交矩阵，并且通过改变和 的符号获得该矩阵的Q另一个 Schur 形式。的确，。那么，是通过特殊的正交变换得到的块对角形式。SdAS_{12}S_{21}A=PSdP^tSdA

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最后，即使numpy.linalg.eigvals()应用于实矩阵返回复数，该过程中也几乎不涉及复杂的计算！

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如果您只想计算真实的 Schur 形式，请使用scipy.linalg.schur()带参数的函数output=\'real\'。

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只需一段代码即可检查：

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S^t=(Q^tAQ)^t\nS^t=Q^t(Q^tA)^t\nS^t=Q^tA^tQ\nS^t=Q^t(-A)Q\nS^t=-Q^tAQ\nS^t=-S\n

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