产品和副产品在邮政

Question

在阅读Bartosz 为程序员提供的优秀类别理论时,我陷入了第二个练习,即第二个练习,它处理了网络中的产品.鉴于一个poset,

    b   e
  ?   ?   ?
a ? c   f ? h
  ?   ?   ?
    d   g

如何在分类意义上定义产品？什么是两个对象的产品分类？那副产品呢？

Answer 1

我们先来看一下产品的定义:

对象的产品a和b是对象c配备态射p :: c -> a和q :: c -> b存在,使得对于任何其他对象c'(与态射p' :: c' -> a和q' :: c' -> b),存在一个态射m :: c' -> c,使得p' = p . m和q' = q . m.

请记住,poset中的态射基本上描述了"小于或等于"的关系.

现在的产品c的两个物体之间a和b必须小于或等于两个的对象a和b.作为一个例子,让我们选择a的e,并b为g您的图表:

    b   e -- this one is a
  ?   ?   ?
a ? c   f ? h
  ?   ?   ?
    d   g -- this one is b

平凡地,在这种情况下,首先想到的第一个对象总是小于或等于任何其他对象是最小的对象a.

现在是和a的产品的有效候选人？我们来看看产品的定义:eg

有没有从射a来e？是的,这存在并且可以写成p? = ce . ac(读作:"首先是从a到c的箭头,然后是从c到e的箭头").

是否有一种来自a的g？是的,这也存在,可以写成q? = cg . ac.

到目前为止,唯一的问题是,剩下的唯一问题是这是否是"最佳"候选者,因为没有其他对象存在,以便我们可以a在另一个候选者之间构建一个独特的同构？

查看图表,我们可以看到该对象c也满足所需的标准,用p = ce和q = cg.

剩下要做的就是根据上面的定义对这两个对象进行排名.我们看到,从存在态射a来c.这意味着c必须是最佳人选,因为我们现在可以定义态射m = ac,使得p? = p . m = ce . ac和q? = q . m = cg . ac.

因此,一个poset中两个对象的乘积实际上是最大的对象,它既小于两者(也称为最大下界).值得注意的是,在总排序中,这对应于函数min(a, b),因为每个对象必须与任何其他对象相关(Wolfram称之为三分法).

模拟到产品定义时,副产物对应于最小对象大于或等于两个a和b.在总排序中,这对应于两个对象的最大值.你可以自己解决这个问题.