为什么在matlab中sin(pi)不精确但sin(pi/2)是准确的？

Question

我的计算有问题matlab.我知道" pi"是一个浮点数并不准确.所以,在matlab sin(pi)中并不完全为零.我的问题是,如果" pi"不确切,那么为什么sin(pi/2)完全相同1.

sin(pi)- >不完全是因为pi.但 sin(pi/2)完全相同1

我很奇怪和困惑!

Answer 1

我不知道Matlab计算的确切方式sin(x)- 但你可以通过使用幂级数来计算它,即

sin x = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - (x^7)/7! + (x^9)/9! ...

将其转换为一些Matlab代码,我们通过以下方式表示:

clc
x = pi;     %  or x = pi/2
res = x;
factor = -1;
for ii=3:2:19
  res = res + factor*power(x,ii)/factorial(ii);
  factor = factor*-1;  
  fprintf ( 'iteration %2i  sin(x)=%1.16f\n', (ii-1)/2, res );
end
res

为这两个代码运行此代码x=pi,x=pi/2您可以看到x=pi/2收敛到正确的结果(在eps错误内)非常快(9次迭代) - 而x=pi情况不会收敛在同一时间范围内.

值得注意的是,在9次迭代中,最后一个因子是在阶乘(19)中计算的.将在此序列中计算的下一个因子是21.这是由于双精度而可以100%准确度表示的最后一个因子(参见参考资料help factorial).

所以我认为发生的事情是,对于pi/2,数学解决方案收敛于1,在双精度内比pi情况更快.实际上,由于数学上的限制和可以存储在双精度结果中的精度,pi情况不能完全收敛.

说完所有sin(pi)内容后eps你应该将这个事实用于你的目的.

我复制了下面的结果(R2015b):

Results for PI/2
iteration  1  sin(x)=0.9248322292886504
iteration  2  sin(x)=1.0045248555348174
iteration  3  sin(x)=0.9998431013994987
iteration  4  sin(x)=1.0000035425842861
iteration  5  sin(x)=0.9999999437410510
iteration  6  sin(x)=1.0000000006627803
iteration  7  sin(x)=0.9999999999939768
iteration  8  sin(x)=1.0000000000000437
iteration  9  sin(x)=1.0000000000000000
Final Result: 1.0000000000000000


Results for PI
iteration  1  sin(x)=-2.0261201264601763
iteration  2  sin(x)=0.5240439134171688
iteration  3  sin(x)=-0.0752206159036231
iteration  4  sin(x)=0.0069252707075051
iteration  5  sin(x)=-0.0004451602382092
iteration  6  sin(x)=0.0000211425675584
iteration  7  sin(x)=-0.0000007727858894
iteration  8  sin(x)=0.0000000224195107
iteration  9  sin(x)=-0.0000000005289183
Final Result: -0.0000000005289183