numpy einsum的替代方案

Question

当我计算X具有N行和n列的矩阵的三阶矩时,我通常使用einsum:

M3 = sp.einsum('ij,ik,il->jkl',X,X,X) /N

这通常很好,但现在我正在使用更大的值,即n = 120和N = 100000,并einsum返回以下错误:

ValueError:迭代器太大

做3个嵌套循环的替代方案是不可行的,所以我想知道是否有任何替代方案.

Answer 1

请注意，计算这至少需要执行 ~n ³ × N = 1730 亿次操作（不考虑对称性），因此除非 numpy 可以访问 GPU 或其他东西，否则它会很慢。在具有 ~3 GHz CPU 的现代计算机上，假设没有 SIMD/并行加速，预计整个计算需要大约 60 秒才能完成。

对于测试，让我们从 N = 1000 开始。我们将使用它来检查正确性和性能：

#!/usr/bin/env python3

import numpy
import time

numpy.random.seed(0)

n = 120
N = 1000
X = numpy.random.random((N, n))

start_time = time.time()

M3 = numpy.einsum('ij,ik,il->jkl', X, X, X)

end_time = time.time()

print('check:', M3[2,4,6], '= 125.401852515?')
print('check:', M3[4,2,6], '= 125.401852515?')
print('check:', M3[6,4,2], '= 125.401852515?')
print('check:', numpy.sum(M3), '= 218028826.631?')
print('total time =', end_time - start_time)

这大约需要 8 秒。这是基线。

让我们从 3 个嵌套循环作为替代方案开始：

M3 = numpy.zeros((n, n, n))
for j in range(n):
    for k in range(n):
        for l in range(n):
            M3[j,k,l] = numpy.sum(X[:,j] * X[:,k] * X[:,l])
# ~27 seconds

这大约需要半分钟，不好！一个原因是因为这实际上是四个嵌套循环：numpy.sum也可以认为是一个循环。

我们注意到总和可以变成点积以消除第四个循环：

M3 = numpy.zeros((n, n, n))
for j in range(n):
    for k in range(n):
        for l in range(n):
            M3[j,k,l] = X[:,j] * X[:,k] @ X[:,l]
# 14 seconds

现在好多了，但还是很慢。但是我们注意到点积可以变成矩阵乘法来消除一个循环：

M3 = numpy.zeros((n, n, n))
for j in range(n):
    for k in range(n):
        M3[j,k] = X[:,j] * X[:,k] @ X
# ~0.5 seconds

嗯？现在这比einsum! 我们还可以检查答案是否确实正确。

我们可以走得更远吗？是的！我们可以k通过以下方式消除循环：

M3 = numpy.zeros((n, n, n))
for j in range(n):
    Y = numpy.repeat(X[:,j], n).reshape((N, n))
    M3[j] = (Y * X).T @ X
# ~0.3 seconds

我们还可以使用广播（即a * [b,c] == [a*b, a*c]X 的每一行）来避免这样做numpy.repeat（感谢 @Divakar）：

M3 = numpy.zeros((n, n, n))
for j in range(n):
    Y = X[:,j].reshape((N, 1))
    ## or, equivalently: 
    # Y = X[:, numpy.newaxis, j]
    M3[j] = (Y * X).T @ X
# ~0.16 seconds

如果我们将其缩放为 N = 100000，则程序预计需要 16 秒，这在理论限制范围内，因此消除它j可能没有太大帮助（但这可能会使代码真的很难理解）。我们可以接受这是最终解决方案。

注意：如果您使用的是 Python 2，a @ b则相当于a.dot(b).