具有全息子结构的矩阵的"矩阵分解"

Question

在开始之前,我必须说对于具有线性代数背景的人来说,这不是矩阵分解,因为你知道它.请阅读以下段落,以便更清楚地了解我要解决的问题.

以下是矩阵及其子矩阵的显着属性/定义:

1. 我有一个SxP矩阵,形成SP"盒子"的网格状结构.这是主要的矩阵.

这就是(空)主矩阵的样子.矩阵中的每个方块简称为方框.矩阵可以被视为一种"游戏板",例如棋盘.使用间隔标度(即实数)测量垂直轴,并使用单调增加的非负整数测量水平轴.

2. 还有一个子矩阵的附加概念(如前所述).子矩阵只是特定配置中的框的集合,并且具有分配给框的特定数字和片段类型(参见下面的黑色和白色片段).我有一组有限的这些子矩阵 - 我将其称为我的词汇或词汇表,用于执行有效的矩阵组合/分解.

子矩阵的"形式"定义是它是主矩阵中包含的M个盒子的配置,满足标准:

• 1 <= M <= 4
• 任何两个相邻框之间的"间隙"G(即距离)满足:1 <= G <= 2*(垂直单位).

垂直单位是主矩阵中垂直轴线之间的间隙.在下图中,垂直单位为100.

上面的图像说明了简单的子矩阵加法.带有橙色寄宿生/盒子的单位是子矩阵 - 构成我词汇的一部分的公认单位.您会注意到我在子矩阵中引入了更多注释.这是因为(使用国际象棋类比),我有两种类型的棋子可以在棋盘上使用.B表示黑色片,W(图中未示出)表示白色片.公认的单位(或词汇/子矩阵)有一个简单的等价关系,允许白件和黑件之间的转换.该关系可用于进一步分解子矩阵以仅使用黑色片,白色片或两者的组合.

为简单起见,我省略了指定等价关系.但是,如果有人认为所提出的问题并非"太难"而没有其他细节,我很乐意扩大范围.就目前而言,我正在努力使事情变得尽可能简单,以避免让人们混淆"信息过载".

3. 子矩阵中的每个框包含一个有符号整数,表示项目的多个单位.盒子的每个"配置"(连同其带符号的整数和片段类型,即黑色或白色片段)被称为"被识别的单元".

4. 子矩阵可以以它们重叠的方式放置在主矩阵中.无论"框"重叠在何处,所得子矩阵框中的单元数是组成框中单元数的总和(如上面第二幅图所示).

问题变得有点困难,因为上面定义的"识别单位"有时与其他"识别单位"组合形成另一个"识别单位" - 即子矩阵(即识别单位)是"完整单位".例如,在上面的第二图像中,被添加到矩阵中的识别单元本身可以进一步分解为"较小"子矩阵.

这种holarchy类似于如何(在物理化学),元素形成的化合物,其然后继续形成更加复杂的化合物(氨基酸,蛋白质等).

回到我们的问题,给定一个主矩阵M,我希望能够做到以下几点:

一世.识别主矩阵中包含的子矩阵(或已识别的单元).这是第一个"矩阵分解".(注意:子矩阵必须满足上面给出的标准)

II.对于每个识别的子矩阵,我希望能够识别它是否可以进一步分解为2个或更多个已识别的子矩阵.这个想法是迭代地分解在上面的步骤i中找到的子矩阵,直到达到指定的层次级别,或者直到我们有一组有限的子矩阵不能进一步分解.

我试图想出一个算法来帮助我做上面的(i)和(ii).我将在C++,Python或C#中实现逻辑(在不断增加的优先级中),这取决于哪个是最容易做的和/或我碰巧得到片段来让我开始实现算法.

Answer 1

我不确定我是否正确理解了这个问题。

所以首先 ypu 想要找到符合你的 2 个标准的所有子矩阵。我认为这就像图分解问题或集合覆盖问题，您可以使用递归函数并迭代矩阵来查找所有可用的子矩阵。

enum PieceTypes
{
    White,
    Black
}

class Box
{
    public PieceTypes PieceType { get; set; }

    public uint Units { get; set; }

    public int s, p;
    public Box(PieceTypes piecetype, uint units)
    {
        PieceType = piecetype;
        Units = units;
    }
}

class Matrix
{
    public Box[,] Boxes;
    public int Scale, S, P, MaxNum, MaxDist;
    public List<List<Box>> Configurations;
    public Matrix(int s, int p, int scale, int maxnum, int maxdist)
    {
        S = s;
        P = p;
        Scale = scale;
        Boxes = new Box[S, P];
        MaxNum = maxnum;
        MaxDist = maxdist;
        Configurations = new List<List<Box>>();
    }

    public void Find(List<Box> Config, int s, int p)
    {
        // Check the max number thats valid for your configuration
        // Check that the current p and s are inside matrix
        if (Config.Count() < MaxNum && s >= 0 && s < S && p >= 0 && p < P)
        {

            foreach (Box b in Config)
            {
                if (Valid(b, Boxes[s, p]))
                {
                    Boxes[s, p].s = s;
                    Boxes[s, p].p = p;
                    Config.Add(Boxes[s, p]);
                    break;
                }

            }
            Find(Config, s + 1, p);
            Find(Config, s - 1, p);
            Find(Config, s, p + 1);
            Find(Config, s, p - 1);
        }
        if (Config.Count() > 0) Configurations.Add(Config);
        Config.Clear();
    }

    public bool Valid(Box b1, Box b2)
    {
        // Create your dist funtion here
        // or add your extra validation rules like the PieceType
        if (Math.Sqrt((b1.s - b2.s) ^ 2 + (b1.p - b2.p) ^ 2) <= MaxDist && b1.PieceType == b2.PieceType) return true;
        else return false;
    }

}

我没有使用最好的数据结构，我简化了解决方案。我希望它有所帮助。