scipy求根方法

Question

我正在编写一个具有数学函数作为属性的类，例如f。

f是：

• 定义在实数段上 [-w;+w]
• 正数且以上界为实数 H
• 偶数（对于 [-w;+w] 中的所有 x，f(x)=f(-x)）且 f(w)=f(-w)=0
• 在 [-w;+w] 上可微，其导数在 [-w;0] 上为正且连续

我的班级看起来像：

from scipy.misc import derivative
from scipy.integrate import quad
from math import cosh, sqrt

class Function(object):

    w = 1.
    PRECISION = 1e-6    

    def f(self, x):
        '''This is an example but f could be 
           any math function matching requirments above.
        '''
        return 0.5+1.07432*(1-cosh(x/1.07432)) 

    def deriv_f(self, x):
        return derivative(self.f, x, self.PRECISION)

    def x_to_arc_length(self, x):
        def func(x): 
            return sqrt(1+self.deriv_f(x)**2)
        return quad(func, -self.w, x)[0]

    def arc_length_to_x(self, L):
        bound = [-self.w, self.w]
        while bound[1]-bound[0] > self.PRECISION:
            mid= sum(bound)/2
            bound[(self.x_to_arc_length(mid)-L > 0)] = mid
        return sum(bound)/2

我使用二分法来反转弧长方法，但我正在考虑更改此方法以使用一种scipy.optimize求根方法来提高速度。我是 scipy 的新手，必须承认我的数学有点生锈了...Scipy 让我在brentq、brenh、ridder和bisect之间进行选择newton。

有人能为我指出最适合这种情况的方法吗？或者也许有一个更好的图书馆？

Answer 1

我不是 Python 专家，但我从数值分析中知道，在您列出的方法（Brent、二分法、Ridder 方法和 Newton-Raphson）中，Brent 方法通常是单个实变量的通用实标量函数f的首选X。正如您可以在此处阅读的那样，如果f是连续的并且该方法应用于f(a)f(b) <0 的区间 [a,b]，则布伦特方法可以保证收敛到零，就像二分法一样。对于许多表现良好的函数，Brent 方法的收敛速度比二分法快得多，但在某些不幸的情况下，它可能需要N^2次迭代，其中N是达到给定容差的二分法迭代次数。

另一方面，牛顿法收敛时通常比布伦特法收敛得更快，但也有根本不收敛的情况。对于相同的函数，牛顿法可能会也可能不会收敛，这也取决于起点和根之间的距离。因此，在通用代码中使用它的风险更大。

brentq关于和 之间的选择brenth，看起来它们应该非常相似，第一个经过了更严格的测试。因此，您可以选择brentq，或者，如果您有时间，可以在它们之间进行一些基准测试。