离散傅立叶变换中的位移定理

Question

我正在尝试解决python + numpy的问题,其中我有一些类型的函数 我需要与另一个函数进行卷积 .为了优化代码,我执行了f和g的fft,我将它们相乘,然后我执行逆变换以获得结果.

作为进一步的优化,我意识到,由于移位定理,我可以简单地计算一次f(x,y,z)的fft,然后将其乘以相位因子,这取决于 获得fft .特别是,,其中N是x和y的长度.

我尝试用python + numpy来实现这个简单的公式,但由于某些原因我目前无法理解它失败了,所以我要求SO社区的帮助来弄清楚我缺少的东西.

我还提供了一个简单的例子.

In [1]: import numpy as np
In [2]: x = np.arange(-10, 11)
In [3]: base = np.fft.fft(np.cos(x))
In [4]: shifted = np.fft.fft(np.cos(x-1))
In [5]: w = np.fft.fftfreq(x.size)
In [6]: phase = np.exp(-2*np.pi*1.0j*w/x.size)
In [7]: test = phase * base
In [8]: (test == shifted).all()
Out[8]: False
In [9]: shifted/base
Out[9]:
array([ 0.54030231 -0.j        ,  0.54030231 -0.23216322j,
        0.54030231 -0.47512034j,  0.54030231 -0.7417705j ,
        0.54030231 -1.05016033j,  0.54030231 -1.42919168j,
        0.54030231 -1.931478j  ,  0.54030231 -2.66788185j,
        0.54030231 -3.92462627j,  0.54030231 -6.74850534j,
        0.54030231-20.55390586j,  0.54030231+20.55390586j,
        0.54030231 +6.74850534j,  0.54030231 +3.92462627j,
        0.54030231 +2.66788185j,  0.54030231 +1.931478j  ,
        0.54030231 +1.42919168j,  0.54030231 +1.05016033j,
        0.54030231 +0.7417705j ,  0.54030231 +0.47512034j,
        0.54030231 +0.23216322j])
In [10]: np.abs(shifted/base)
Out[10]:
array([  0.54030231,   0.58807001,   0.71949004,   0.91768734,
         1.18100097,   1.52791212,   2.00562555,   2.72204338,
         3.96164334,   6.77009977,  20.56100612,  20.56100612,
         6.77009977,   3.96164334,   2.72204338,   2.00562555,
         1.52791212,   1.18100097,   0.91768734,   0.71949004,   0.58807001])

我希望借助于shifted/base我可以获得相位因子的相应值,但是可以看出,它不能是相位因子,因为它np.abs> = 1!

Answer 1

我的代码中的问题既出现在输入行 6 上，又出现在输入行 6 上，这是由于对 的返回值的错误（我的错误）解释造成的np.fft.fftfreq()，并且需要填充数组才能获得合理的结果。

下面的代码效果很好，可以扩展到多维。

In [1]: import numpy as np
In [2]: shift = 1
In [3]: dx = 0.5
In [4]: pad = 20
In [5]: x = np.arange(-10, 11, dx)
In [6]: y = np.cos(x)
In [7]: y = np.pad(y, (0,pad), 'constant')
In [8]: y_shift = np.cos(x-shift)
In [9]: y_fft = np.fft.fft(y)
In [10]: w = np.fft.fftfreq(y.size, dx)
In [11]: phase = np.exp(-2.0*np.pi*1.0j*w*shift)
In [12]: test = phase * y_fft
In [13]: # we use np.real since the resulting inverse fft has small imaginary part values that are zero
In [14]: inv_test = np.real(np.fft.ifft(test))
In [15]: np.allclose(y[:-pad-2],inv_test[2:-pad])
Out[15]: True