测量门如何工作？

Question

我有一个比特状态|Q>，n想测量比特数i。是否有一个矩阵可以应用于状态，所以状态Q最终会变成Q'，就像 Hadamard 或 X 门一样？

或者我应该根据测量|x><x|结果应用测量矩阵，如果0然后x=0，如果1然后x=1？

Answer 1

尽管我们经常将测量表示为适用于单个量子位的操作，但它的作用与其他单量子位操作不同。省略了一些细节。

与 CNOT 等效

测量一个量子位相当于将其用作 CNOT 的控件，该 CNOT 可以切换其他未使用的辅助量子位。了解这种等价性很有用，因为它可以让您将您对双量子位单一运算的了解转化为有关测量的事实。

这是一个电路，显示围绕 Y 轴旋转的量子位在您测量时最终处于相同的混合状态，就像在 CNOT-onto-ancilla 时一样。绿色圆圈是每个量子比特边缘状态的布洛赫球体表示：

测量与 CNOT 循环

（如果您想使用此 CNOT 技巧来计算混合状态结果，而不是纯状态，只需将状态表示为密度矩阵，然后在执行 CNOT 后跟踪辅助量子位。）

基本上，测量与制作纠缠副本在观察上没有区别。实际上，不同之处在于测量在热力学上是不可逆的，而 CNOT 很容易逆转。

预期结果

如果忽略测量结果，则测量就像密度矩阵的投影。例如，在上面的动画中，请注意测量导致状态捕捉（投影到）Bloch 球体的 Z 轴。

如果您可以访问测量结果，那么测量不仅会预测，还会通知您系统的新状态。在单量子位在计算基础的情况下，由于自旋的量化，这迫使量子位全开或全关。

表示

测量值可以用多种方式表示。

一个非常常见的表示是“投影测量”。投影测量由 Hermitian 矩阵（称为“可观察的”）表示。矩阵的特征值是可能的结果。通过将状态的密度矩阵投影到每个特征空间并进行跟踪，您可以获得每个结果的概率。

更灵活且可以说更好的表示是正算子值度量（POVM 度量）。POVM 由一组 Hermitian 平方矩阵表示，条件是该组矩阵的总和必须是单位矩阵。集合中平方矩阵 F 对应的结果的概率是状态密度矩阵乘以 F 的迹。

将投影测量转换为执行该测量的电路（仅使用计算基础测量）很简单，因为必要的基础更改操作只是一个酉矩阵，其行是可观察的特征向量。转换 POVM 测量值比较棘手，需要引入辅助位。