使用时差 (TDOA) 对信号进行三边测量

Question

我在查找或实现算法以查找信号源时遇到了一些麻烦。我的工作目标是找到发声器的位置。

为此，我使用了三个振动传感器。我使用的技术是基于到达时间差的多点测量。

使用接收信号的互相关找到每个传感器之间的到达时间差。

我已经实现了算法来找到到达的时间差，但我的问题更多是关于多边定位的工作原理，根据我的参考资料，我不清楚，而且我找不到任何其他免费/开放的好的参考资料。

我看到这篇文章Trilateration using TDOA 但我不知道如何解决多边测量维基百科页面的方程组（7），因为我只有三个 TDOA。

对此的任何帮助将不胜感激

Answer 1

你有三个传感器坐标A,B,C，信号源坐标P未知，信号开始时间未知t0，信号注册三次ta, tb, tc。

示例：让我们传感器 A 在 12:00:05 捕获信号，传感器 B - 在 12:00:00，传感器 C - 12:00:07。所以分配时差：ta=5, tb=0, tc=7

从传感器到源的平方距离对应于信号随速度移动的时间v（空气或其他环境中的声速）

(Ax-Px)^2 + (Ay-Py)^2 = (v*(ta-t0))^2   {1}
(Bx-Px)^2 + (By-Py)^2 = (v*(tb-t0))^2   {2}
(Cx-Px)^2 + (Cy-Py)^2 = (v*(tc-t0))^2   {3}

打开括号，然后减去方程 ({2}-{1}, {3}-{2},{1}-{3}) 以丢弃未知项的平方。

 Ax^2-2*Ax*Px + Px^2 + Ay^2-2*Ay*Py + Py^2 = v^2*(ta^2 - 2*ta*t0 + t0^2)
 Bx^2-2*Bx*Px + Px^2 + By^2-2*By*Py + Py^2 = v^2*(tb^2 - 2*tb*t0 + t0^2)
 Cx^2-2*Cx*Px + Px^2 + Cy^2-2*Cy*Py + Py^2 = v^2*(tc^2 - 2*tc*t0 + t0^2)

 Bx^2-Ax^2 -2*(Bx-Ax)*Px + By^2-Ay^2 -2*(By-Ay)*Py = v^2*(tb^2-ta^2 -2*(tb-ta)*t0)    {1'}
 Cx^2-Bx^2 -2*(Cx-Bx)*Px + Cy^2-By^2 -2*(Cy-By)*Py = v^2*(tc^2-tb^2 -2*(tc-tb)*t0)    {2'}
 Ax^2-Cx^2 -2*(Ax-Cx)*Px + Ay^2-Cy^2 -2*(Ay-Cy)*Py = v^2*(ta^2-tc^2 -2*(ta-tc)*t0)    {3'}

现在你有三个未知数的三个线性方程组。它可能会通过一些广泛使用的算法来解决 -高斯消除、LU 分解等。

请注意，求解精度很大程度上取决于坐标和时间测量中的小误差（这种方法不是很可靠）。