如何确定正弦函数的多项式逼近中的这些系数？

Question

背景:我正在用Java编写一些几何软件.我需要Java的BigDecimal类提供的精度.由于BigDecimal不支持trig函数,我想我会看看Java如何实现标准的Math库方法,并使用BigDecimal支持编写我自己的版本.

阅读这篇JavaDoc,我了解到Java使用的算法"来自着名的网络库netlib作为软件包"Freely Distributable Math Library,"fdlibm.这些算法是用C编程语言编写的,然后被理解为执行所有浮点运算遵循Java浮点运算规则."

我的问题:我查找了fblibm的sin函数k_sin.c,它看起来像是使用13阶的泰勒序列近似正弦(编辑 - njuffa评论说fdlibm使用了极小极大多项式近似).该代码将多项式的系数定义为S1到S6.我决定检查这些系数的值,发现S6只对一个有效数字是正确的!我希望它是1 /(13!),Windows计算器和谷歌计算器告诉我的是1.6059044 ... e-10,而不是1.58969099521155010221e-10(这是代码中S6的值).甚至S5的第五位与1 /(11!)不同.有人可以解释这种差异吗？具体来说,这些系数(S1到S6)是如何确定的？

/* @(#)k_sin.c 1.3 95/01/18 */
/*
 * ====================================================
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 *
 * Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
 * Permission to use, copy, modify, and distribute this
 * software is freely granted, provided that this notice 
 * is preserved.
 * ====================================================
 */

/* __kernel_sin( x, y, iy)
 * kernel sin function on [-pi/4, pi/4], pi/4 ~ 0.7854
 * Input x is assumed to be bounded by ~pi/4 in magnitude.
 * Input y is the tail of x.
 * Input iy indicates whether y is 0. (if iy=0, y assume to be 0). 
 *
 * Algorithm
 *  1. Since sin(-x) = -sin(x), we need only to consider positive x. 
 *  2. if x < 2^-27 (hx<0x3e400000 0), return x with inexact if x!=0.
 *  3. sin(x) is approximated by a polynomial of degree 13 on
 *     [0,pi/4]
 *                   3            13
 *      sin(x) ~ x + S1*x + ... + S6*x
 *     where
 *  
 *  |sin(x)         2     4     6     8     10     12  |     -58
 *  |----- - (1+S1*x +S2*x +S3*x +S4*x +S5*x  +S6*x   )| <= 2
 *  |  x                               | 
 * 
 *  4. sin(x+y) = sin(x) + sin'(x')*y
 *          ~ sin(x) + (1-x*x/2)*y
 *     For better accuracy, let 
 *           3      2      2      2      2
 *      r = x *(S2+x *(S3+x *(S4+x *(S5+x *S6))))
 *     then                   3    2
 *      sin(x) = x + (S1*x + (x *(r-y/2)+y))
 */

#include "fdlibm.h"

#ifdef __STDC__
static const double 
#else
static double 
#endif
half =  5.00000000000000000000e-01, /* 0x3FE00000, 0x00000000 */
S1  = -1.66666666666666324348e-01, /* 0xBFC55555, 0x55555549 */
S2  =  8.33333333332248946124e-03, /* 0x3F811111, 0x1110F8A6 */
S3  = -1.98412698298579493134e-04, /* 0xBF2A01A0, 0x19C161D5 */
S4  =  2.75573137070700676789e-06, /* 0x3EC71DE3, 0x57B1FE7D */
S5  = -2.50507602534068634195e-08, /* 0xBE5AE5E6, 0x8A2B9CEB */
S6  =  1.58969099521155010221e-10; /* 0x3DE5D93A, 0x5ACFD57C */

#ifdef __STDC__
    double __kernel_sin(double x, double y, int iy)
#else
    double __kernel_sin(x, y, iy)
    double x,y; int iy;     /* iy=0 if y is zero */
#endif
{
    double z,r,v;
    int ix;
    ix = __HI(x)&0x7fffffff;    /* high word of x */
    if(ix<0x3e400000)           /* |x| < 2**-27 */
       {if((int)x==0) return x;}        /* generate inexact */
    z   =  x*x;
    v   =  z*x;
    r   =  S2+z*(S3+z*(S4+z*(S5+z*S6)));
    if(iy==0) return x+v*(S1+z*r);
    else      return x-((z*(half*y-v*r)-y)-v*S1);
}

Answer 1

我们可以使用trig标识将所有内容都降低到0≤x≤π/ 4,然后需要一种方法来估计该区间的sin x.在0≤x≤2 ^-27,我们只要坚持罪x≈x(其中泰勒多项式也会给,双重的公差范围内).

不使用泰勒多项式的原因在于算法评论的第3步.泰勒多项式给出(可证明的)接近零的精度,但是当你离开零时,精度会降低.到达π/ 4时,13阶泰勒多项式(除以x)与(sin x)/ x相差3e-14.这远比fblibm的2 ^-58错误差.为了使用泰勒多项式得到准确,你需要一直到(π/ 4)^n-1/n!< ^2-58,需要另外2或3个学期.

那么,为什么fblibm定居的2精度^-58？因为它超过了double的容差(其尾数只有52位).

在你的情况下,你想要任意多的sin x.要使用fblibm的方法,只要您想要的精度发生变化,您就需要重新计算系数.你最好的办法似乎是与泰勒多项式坚持为0,因为它是非常易于计算,并采取条款直至(π/ 4)^N-1/N!符合您所需的准确度.

njuffa有一个使用身份进一步限制你的域的有用的想法.例如,sin(x) = 3*sin(x/3) - 4*sin^3(x/3).使用此功能可以将域限制为0≤x≤π/ 12.并且您可以使用它两次将您的域限制为0≤x≤π/ 36.这样可以使泰勒扩展更快地获得所需的精度.而不是试图获得(π/ 4)^n-1/n!的π的任意精确值,我建议将π四舍五入到4并直到1/n!满足您所需的准确度(或3 ^-n/n!或9 ^-n/n!如果您使用过一次或两次trig标识).