行列式显示无穷大而不是零！为什么？

Question

这是我为作业中的一个问题编写的 matlab 代码。在 A 与其转置相乘之后，根据所有同学的代码（不同的代码）给出的结果，所得方阵应该具有行列式零。为什么我的代码没有给出 c 和 d 的行列式为无穷大

A = rand(500,1500);

b = rand(500,1);

c = (A.')*A;

detc = det(c);

cinv = inv((A.')*A);

d = A*(A.');

detd = det(d);

dinv = inv(A*(A.'));

x1 = (inv((A.')*A))*((A.')*b);

x2 = A.'*((inv(A*(A.')))*b);

Answer 1

此行为在文档的限制部分中进行了解释，并在查找奇异矩阵的行列式小节中进行了举例说明，其中指出：det

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A尽管的行列式是A奇异的，但它仍然很大。事实上， 的行列式A应该恰好为零！的不准确是由于用于计算行列式的dLU 分解的 MATLAB\xc2\xae 实现中舍入误差的聚合造成的。det

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也就是说，在这种情况下，您可以通过使用同一页面上给出的m 代码实现U来生成所需的结果，但按升序对 的对角线元素进行排序。考虑示例脚本：

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clc();\nclear();\n\nA = rand(500,1500);\nb = rand(500,1);\nc = (A.\')*A;\n\n[L,U] = lu(c);\n% Since det(L) is always (+/-)1, it doesn\'t impact anything\ndiagU = diag(U);\ndetU1 = prod(diagU);\ndetU2 = prod(sort(diagU,\'descend\'));\ndetU3 = prod(sort(diagU,\'ascend\'));\n\nfprintf(\'Minimum: %+9.5e\\n\',min(abs(diagU)));\nfprintf(\'Maximum: %+9.5e\\n\',max(abs(diagU)));\nfprintf(\'Determinant:\\n\');\nfprintf(\'\\tNo Sort:          %g\\n\'  ,detU1);\nfprintf(\'\\tDescending Sort:  %g\\n\'  ,detU2);\nfprintf(\'\\tAscending Sort:   %g\\n\\n\',detU3);\n

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这会产生输出：

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Minimum: +1.53111e-13\nMaximum: +1.72592e+02\nDeterminant:\n    No Sort:          Inf\n    Descending Sort:  Inf\n    Ascending Sort:   0\n

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请注意，排序的方向很重要，并且由于对角线上不存在Inftrue ，因此不排序会给出结果。0降序排序会看到最大值首先相乘，显然，它们超出了realmax并且永远不会与 true 相乘0，这会生成NaN. 升序排序将所有接近零的对角线值与很少的大负值聚集在一起（事实上，更稳健的方法会根据大小进行排序，但这里没有这样做），并且它们的乘法生成一个 true （0这意味着该值低于 IEEE-754 算术中可用的最小非规范化数），从而产生“正确”结果。

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正如其他人所暗示的那样，我将引用原始 Matlab 开发人员和 Mathworks 联合创始人 Cleve Moler 的话：

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[行列式]在理论考虑和手工计算中很有用，但并没有为稳健的数值软件提供坚实的基础。

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