Coq 中的反例证明

Question

在命题和谓词演算中证明了数十个引理之后（有些比其他的更具挑战性，但通常仍然可以在intro-apply-destruct自动驾驶仪上证明），我从一开始就打了一个~forall，并立即被抓住了。显然，我对 Coq 的理解和知识缺乏。所以，我要求使用低级 Coq 技术来证明一般形式的语句

~forall A [B].., C -> D.  
exists A [B].., ~(C -> D).

换句话说，我希望有一个通用的 Coq 方法来设置和触发反例。（量化上述函数的主要原因是它是 Coq 中的（或）原始连接词。）如果你想要例子，我建议例如

~forall P Q: Prop, P -> Q.
~forall P: Prop, P -> ~P.

有一个相关的问题既没有提出也没有回答我的问题，所以我认为它不是重复的。

Answer 1

回想一下，它~ P被定义为P -> False。换句话说，为了表明这样的陈述，假设P并推导出矛盾就足够了。关键是你可以以P任何你喜欢的方式用作假设。在普遍量化的陈述的特殊情况下，该specialize策略可能会派上用场。这种策略允许我们实例化具有特定值的通用量化变量。例如，

Goal ~ forall P Q, P -> Q.
Proof.
  intros contra.
  specialize (contra True False). (* replace the hypothesis 
                                     by [True -> False] *)
  apply contra. (* At this point the goal becomes [True] *)
  trivial.
Qed.