为什么使用牛顿法的 FindMaximum 会抱怨找不到足够的函数减少？

Question

首先，这看起来（来自 ContourPlot）是一个相当简单的最大化问题，为什么使用牛顿法的 FindMaximum 会出现问题？

其次，如何摆脱警告？

第三，如果我无法摆脱这些警告，我如何判断警告是否有意义，即最大化失败？

例如，在下面的代码中，使用 Newton 方法的 FindMaximum 会发出警告，而 PrimaryAxis 方法则不会

o = 1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]))/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   3/10 Log[E^(h/Sqrt[3])/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))];
(* -1 使更多轮廓接近最大值 *)

轮廓Func[n_, p_] := 函数[{最小值, 最大值},
   范围=最大值-最小值；
   表[Exp[p (x - 1)] x 范围 + min, {x, 0, 1, 1/n}]
   ];
cf = 轮廓Func[10, -1];
等高线图 @@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}, 等高线 -> cf}

FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, 方法 -> “牛顿”}
FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, 方法 -> "PrincipalAxis"}

请注意，我认为可能其中一个组件的方向上的梯度为 0 是问题所在，但如果我扰乱初始点，我仍然会收到相同的警告，这是一个示例

o = 1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]))/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/5 Log[E^(h/Sqrt[3])/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   3/10 Log[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] +
   1/10 Log[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) +
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) +
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))];
等值线图 @@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}}
FindMaximum @@ {o, {{j, -0.008983550852535105`}, {h,
    0.06931364191023386`}}，方法->“牛顿”}

Answer 1

从数学上讲，我不确定 Netwon 的方法失败的确切原因，但文档中的示例指出FindMaximum了这个特定问题和可能问题下的错误消息：“使用机器精度算术，即使具有平滑最大值的函数也可能看起来颠簸”。

WorkingPrecision -> 20因此，如果您通过例如警告选项FindMaximum消失来提高工作精度：

In[25]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method->"Newton", WorkingPrecision->20]

Out[25]= {-2.0694248079871222533, {j -> -0.14189560954670761863, h -> 0}}

鉴于错误的文本具有相当的描述性：

FindMaximum::lstol：线搜索将步长减小到 AccuracyGoal 和 PrecisionGoal 指定的容差范围内，但无法在函数中找到足够的增量。您可能需要超过 MachinePrecision 位数的工作精度来满足这些公差。>>

...我怀疑牛顿的方法无法使用机器精度算术达到误差足够小的固定点。

正如错误消息提示的那样，AccuracyGoal如果您不想切换到较慢的高精度算术，则可以使用该选项来指定解决方案中所需的有效位数：

In[27]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "Newton", AccuracyGoal -> 5]

Out[27]= {-2.06942, {j -> -0.141896, h -> -2.78113*10^-17}}

希望有帮助！