在numpy或matlab中从满秩的非方阵中获得可逆方阵

Question

假设你有一个满级NxM矩阵A,其中M>N.如果我们用C_i(用尺寸Nx1)表示列,那么我们可以将矩阵写为

A = [C_1, C_2, ..., C_M]

如何获得原始矩阵的第一个线性独立列A,以便您可以构造一个新NxN矩阵B,该矩阵是具有非零行列式的可逆矩阵.

B = [C_i1, C_i2, ..., C_iN]

如何{i1, i2, ..., iN}在matlab或python numpy中找到索引？这可以使用奇异值分解来完成吗？代码片段将非常受欢迎.

编辑:为了使这更具体,请考虑以下python代码

from numpy import *
from numpy.linalg.linalg import det

M = [[3, 0, 0, 0, 0],
     [0, 0, 1, 0, 0],
     [0, 0, 0, 0, 1], 
     [0, 2, 0, 0, 0]]
M = array(M)

I = [0,1,2,4]
assert(abs(det(M[:,I])) > 1e-8)

因此,给定矩阵M,需要找到一组N线性独立列向量的索引.

Answer 1

在MATLAB中轻松,轻松.使用QR,特别是枢轴QR.

M = [3 0 0 0 0;
     0 0 1 0 0;
     0 0 0 0 1; 
     0 2 0 0 0]

[Q,R,E] = qr(M)
Q =
     1     0     0     0
     0     0     1     0
     0     0     0     1
     0     1     0     0

R =
     3     0     0     0     0
     0     2     0     0     0
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0

E =
     1     0     0     0     0
     0     1     0     0     0
     0     0     1     0     0
     0     0     0     0     1
     0     0     0     1     0

E的前4列指定要使用的M列,即列[1,2,3,5].如果你想要M的列,只需形成产品M*E.

M*E
ans =
     3     0     0     0     0
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0
     0     2     0     0     0

顺便说一下,使用det确定矩阵是否是单数是绝对的,肯定的,绝对最差的方法.

请改用排名.

从本质上讲,你几乎不应该在MATLAB中使用det,除非你理解为什么它是如此糟糕的事情,并且你选择使用它尽管如此.