在Mathematica中,我如何定义任意概率分布？

Question

我想要一个任意函数p [x],它集成到1和所有x,0 <= p [x] <= 1.某种转换规则？

Answer 1

您可以ProbabilityDistribution将此与未定义的函数一起使用x:

dist = ProbabilityDistribution[p[x], {x, -Infinity, Infinity}];

它现在知道一些适用的规则:

• 连续概率密度:单个值的概率为零

  In[26]:= Probability[x == 0, x \[Distributed] dist]
  
  Out[26]= 0
  

• 有价值的概率

  In[28]:= Probability[x > 0 || x <= 0, x \[Distributed] dist]
  
  Out[28]= 1
  

• CDF在 - 无限

  In[29]:= CDF[dist][-\[Infinity]]
  
  Out[29]= 0
  

• CDF在+无穷大

  In[30]:= CDF[dist][\[Infinity]]
  
  Out[30]= 1
  

• PDF

  In[32]:= PDF[dist][x]
  
  Out[32]= p[x]
  

• 但是,它不假设分发的PDF已标准化:

  In[33]:= Integrate[PDF[dist][x], {x, -Infinity, Infinity}]
  
  Out[33]= Integrate[p[x], {x, -Infinity, Infinity}]
  

• 可以教导后者,为p定义UpValue:

  p /: Integrate[p[x], {x, -Infinity, Infinity}] = 1;
  

• 现在它可以集成PDF:

  In[4]:= Integrate[PDF[dist][x], {x, -Infinity, Infinity}]
  
  Out[4]= 1
  

你知道你的第二个要求,即0 <= p[x] <= 1概率密度函数通常不正确,对吗？

Answer 2

如果您只是要求提供符合您的标准的密度函数 (PDF) 示例，这里有两个（在无数个中）：

p(x) = 1 if 0 < x < 1
       0 otherwise

p(x) = x/2 if 0 < x < 2
       0 otherwise

我们甚至可以稍微概括一下：

p(x) = 1/k if 0 < x < k
       0 otherwise

p(x) = 2x/k^2 if 0 < x < k
       0 otherwise

后者适用于 k >= 2。我们甚至可以使用另一个参数来推广它，以获得具有任意指数的此类函数的类

p(x) = (a+1)/k^(a+1)*x^a if 0 < x < k
       0 otherwise

它适用于所有 a > 1 和 k > a+1。

对于更有趣的例子，我认为你需要给出更多标准。你提到了一个转换规则，所以也许你想在 R1 上取一个任意有界函数并对其进行平移/缩放，以便它始终在 0 和 1 之间并积分为 1。只要你能得到给定函数的最小值、最大值和积分。继续编辑问题以询问这是否确实是您正在寻找的内容。