如何获取 scipy.interpolate.splev 使用的样条基础

Question

我需要在 python 中评估 b 样条线。为此，我编写了下面的代码，效果非常好。

import numpy as np
import scipy.interpolate as si

def scipy_bspline(cv,n,degree):
    """ bspline basis function
        c        = list of control points.
        n        = number of points on the curve.
        degree   = curve degree
    """
    # Create a range of u values
    c = cv.shape[0]
    kv = np.clip(np.arange(c+degree+1)-degree,0,c-degree)
    u  = np.linspace(0,c-degree,n)
    
    # Calculate result
    return np.array(si.splev(u, (kv,cv.T,degree))).T

给它 6 个控制点并要求它评估曲线上的 100k 个点是一件轻而易举的事：

# Control points
cv = np.array([[ 50.,  25., 0.],
       [ 59.,  12., 0.],
       [ 50.,  10., 0.],
       [ 57.,   2., 0.],
       [ 40.,   4., 0.],
       [ 40.,   14., 0.]])

n = 100000  # 100k Points
degree = 3 # Curve degree
points_scipy = scipy_bspline(cv,n,degree) #cProfile clocks this at 0.012 seconds

这是“points_scipy”的图：

现在，为了加快速度，我可以计算曲线上所有 100k 点的基础，将其存储在内存中，当我需要绘制曲线时，我需要做的就是将新的控制点位置与存储的基础相乘得到新的曲线。为了证明我的观点，我编写了一个函数，使用DeBoor 算法来计算我的基础：

def basis(c, n, degree):
    """ bspline basis function
        c        = number of control points.
        n        = number of points on the curve.
        degree   = curve degree
    """
    # Create knot vector and a range of samples on the curve
    kv = np.array([0]*degree + range(c-degree+1) + [c-degree]*degree,dtype='int') # knot vector
    u  = np.linspace(0,c-degree,n) # samples range
    
    # Cox - DeBoor recursive function to calculate basis
    def coxDeBoor(u, k, d):
        # Test for end conditions
        if (d == 0):
            if (kv[k] <= u and u < kv[k+1]):
                return 1
            return 0
        
        Den1 = kv[k+d] - kv[k]
        Den2 = 0
        Eq1  = 0
        Eq2  = 0
        
        if Den1 > 0:
            Eq1 = ((u-kv[k]) / Den1) * coxDeBoor(u,k,(d-1))
            
        try:
            Den2 = kv[k+d+1] - kv[k+1]
            if Den2 > 0:
                Eq2 = ((kv[k+d+1]-u) / Den2) * coxDeBoor(u,(k+1),(d-1))
        except:
            pass
        
        return Eq1 + Eq2
    

    # Compute basis for each point
    b = np.zeros((n,c))
    for i in xrange(n):
        for k in xrange(c):
            b[i][k%c] += coxDeBoor(u[i],k,degree)

    b[n-1][-1] = 1
                
    return b

现在让我们用它来计算一个新的基础，将其乘以控制点并确认我们得到与 splev 相同的结果：

b = basis(len(cv),n,degree) #5600011 function calls (600011 primitive calls) in 10.975 seconds
points_basis = np.dot(b,cv) #3 function calls in 0.002 seconds
print np.allclose(points_basis,points_scipy) # Returns True

我的极其慢的函数在 11 秒内返回 100k 基础值，但由于这些值只需要计算一次，因此计算曲线上的点最终比通过 splev 快 6 倍。

事实上，我能够从我的方法和 splev 中获得完全相同的结果，这让我相信内部 splev 可能会像我一样计算基础，只是速度更快。

所以我的目标是找出如何快速计算我的基础，将其存储在内存中，然后使用 np.dot() 来计算曲线上的新点，我的问题是：是否可以使用Spirit.interpolate来获得（我假设） splev 用于计算其结果的基础值？如果是这样，怎么办？

[附录]

遵循 unutbu 和 ev-br 关于 scipy 如何计算样条曲线基础的非常有用的见解，我查找了 fortran 代码并尽我最大的能力编写了等效的代码：

def fitpack_basis(c, n=100, d=3, rMinOffset=0, rMaxOffset=0):
    """ fitpack's spline basis function
        c = number of control points.
        n = number of points on the curve.
        d = curve degree
    """
    # Create knot vector
    kv = np.array([0]*d + range(c-d+1) + [c-d]*d, dtype='int')

    # Create sample range
    u = np.linspace(rMinOffset, rMaxOffset + c - d, n)  # samples range
    
    # Create buffers
    b  = np.zeros((n,c)) # basis
    bb = np.zeros((n,c)) # basis buffer
    left  = np.clip(np.floor(u),0,c-d-1).astype(int)   # left  knot vector indices
    right = left+d+1 # right knot vector indices

    # Go!
    nrange = np.arange(n)
    b[nrange,left] = 1.0
    for j in xrange(1, d+1):
        crange = np.arange(j)[:,None]
        bb[nrange,left+crange] = b[nrange,left+crange]        
        b[nrange,left] = 0.0
        for i in xrange(j):
            f = bb[nrange,left+i] / (kv[right+i] - kv[right+i-j])
            b[nrange,left+i] = b[nrange,left+i] + f * (kv[right+i] - u)
            b[nrange,left+i+1] = f * (u - kv[right+i-j])
            
    return b

针对我的原始基函数的 unutbu 版本进行测试：

fb = fitpack_basis(c,n,d) #22 function calls in 0.044 seconds
b = basis(c,n,d) #81 function calls (45 primitive calls) in 0.013 seconds  ~5 times faster
print np.allclose(b,fb) # Returns True

我的函数慢了 5 倍，但仍然相对较快。我喜欢它的是，它允许我使用超出边界的样本范围，这在我的应用程序中很有用。例如：

print fitpack_basis(c,5,d,rMinOffset=-0.1,rMaxOffset=.2)
[[ 1.331  -0.3468  0.0159 -0.0002  0.      0.    ]
[ 0.0208  0.4766  0.4391  0.0635  0.      0.    ]
[ 0.      0.0228  0.4398  0.4959  0.0416  0.    ]
[ 0.      0.      0.0407  0.3621  0.5444  0.0527]
[ 0.      0.     -0.0013  0.0673 -0.794   1.728 ]]

因此，出于这个原因，我可能会使用 fitpack_basis，因为它相对较快。但我希望得到有关改进其性能的建议，并希望能更接近我编写的原始基函数的 unutbu 版本。

Answer 1

fitpack_basis使用双循环迭代修改bb 和中的元素b。我没有看到使用 NumPy 向量化这些循环的方法，因为迭代每个阶段的bb和 的值b取决于先前迭代的值。在这种情况下，有时可以使用 Cython 来提高循环的性能。

这是 Cython 化的版本，其运行速度与bspline_basisfitpack_basis一样快 。使用 Cython 提高速度的主要思想是声明每个变量的类型，并使用普通整数索引将 NumPy 花哨索引的所有使用重写为循环。

有关如何构建代码并从 python 运行代码的说明，请参阅此页面。

import numpy as np
cimport numpy as np
cimport cython

ctypedef np.float64_t DTYPE_f
ctypedef np.int64_t DTYPE_i

@cython.boundscheck(False)
@cython.wraparound(False)
@cython.nonecheck(False)
def cython_fitpack_basis(int c, int n=100, int d=3, 
                         double rMinOffset=0, double rMaxOffset=0):
    """ fitpack's spline basis function
        c = number of control points.
        n = number of points on the curve.
        d = curve degree
    """
    cdef Py_ssize_t i, j, k, l
    cdef double f

    # Create knot vector
    cdef np.ndarray[DTYPE_i, ndim=1] kv = np.array(
        [0]*d + range(c-d+1) + [c-d]*d, dtype=np.int64)

    # Create sample range
    cdef np.ndarray[DTYPE_f, ndim=1] u = np.linspace(
        rMinOffset, rMaxOffset + c - d, n)

    # basis
    cdef np.ndarray[DTYPE_f, ndim=2] b  = np.zeros((n,c)) 
    # basis buffer
    cdef np.ndarray[DTYPE_f, ndim=2] bb = np.zeros((n,c)) 
    # left  knot vector indices
    cdef np.ndarray[DTYPE_i, ndim=1] left = np.clip(np.floor(u), 0, c-d-1).astype(np.int64)   
    # right knot vector indices
    cdef np.ndarray[DTYPE_i, ndim=1] right = left+d+1 

    for k in range(n):
        b[k, left[k]] = 1.0

    for j in range(1, d+1):
        for l in range(j):
            for k in range(n):
                bb[k, left[k] + l] = b[k, left[k] + l] 
                b[k, left[k]] = 0.0
        for i in range(j):
            for k in range(n):
                f = bb[k, left[k]+i] / (kv[right[k]+i] - kv[right[k]+i-j])
                b[k, left[k]+i] = b[k, left[k]+i] + f * (kv[right[k]+i] - u[k])
                b[k, left[k]+i+1] = f * (u[k] - kv[right[k]+i-j])
    return b

使用此 timeit 代码来对其性能进行基准测试，

import timeit
import numpy as np
import cython_bspline as CB
import numpy_bspline as NB

c = 6
n = 10**5
d = 3

fb = NB.fitpack_basis(c, n, d)
bb = NB.bspline_basis(c, n, d) 
cfb = CB.cython_fitpack_basis(c,n,d) 

assert np.allclose(bb, fb) 
assert np.allclose(cfb, fb) 
# print(NB.fitpack_basis(c,5,d,rMinOffset=-0.1,rMaxOffset=.2))

timing = dict()
timing['NB.fitpack_basis'] = timeit.timeit(
    stmt='NB.fitpack_basis(c, n, d)', 
    setup='from __main__ import NB, c, n, d', 
    number=10)
timing['NB.bspline_basis'] = timeit.timeit(
    stmt='NB.bspline_basis(c, n, d)', 
    setup='from __main__ import NB, c, n, d', 
    number=10)
timing['CB.cython_fitpack_basis'] = timeit.timeit(
    stmt='CB.cython_fitpack_basis(c, n, d)', 
    setup='from __main__ import CB, c, n, d', 
    number=10)

for func_name, t in timing.items():
    print "{:>25}: {:.4f}".format(func_name, t)

看来 Cython 可以使代码运行得与bspline_basisfitpack_basis一样快（也许更快一点）：

         NB.bspline_basis: 0.3322
  CB.cython_fitpack_basis: 0.2939
         NB.fitpack_basis: 0.9182