2D弹性球碰撞物理

Question

2D弹性球碰撞物理

我正在制作一个涉及弹性球物理的程序.我已经计算出所有与墙壁和静止物体发生碰撞的数学计算,但我无法弄清楚当两个移动的球碰撞时会发生什么.我有质量和速度(x和y速度准确,但每个球的速度和它们的方向都会这样做)并且想要那些公式.记住 - 这是一个完全弹性的碰撞 - 所以没有旋转球等.

Answer 1

cro*_*mod 15

这篇维基百科文章提供了计算两个粒子碰撞后速度的公式:

$\ mathbf {v'_1} =\mathbf {v_1} - \frac {2m_2} {m_1 + m_2}\frac {\ left\langle\mathbf {v_1} - \mathbf {v_2} | \mathbf {x_1} - \mathbf {x_2}\right\rangle} {{\ left\| \mathbf {x_1} - \mathbf {x_2}\right\|} ^ {2}}(\ mathbf {x_1} - \mathbf {x_2})$

$\ mathbf {v'_2} =\mathbf {v_2} - \frac {2m_1} {m_1 + m_2}\frac {\ left\langle\mathbf {v_2} - \mathbf {v_1} | \mathbf {x_2} - \mathbf {x_1}\right\rangle} {{\ left\| \mathbf {x_2} - \mathbf {x_1}\right\|} ^ {2}}(\ mathbf {x_2} - \mathbf {x_1})$

使用此公式有很多原因:

你只需要在碰撞前你的球的速度矢量,它们的质量和它们的位置,
你不需要定义偏差角度,
操作很简单(只需要点产品),
矢量可以在任何坐标系中表示.

维基百科文章中没有证据,所以我在下面提供.

问题的定义

对于每个球,我们定义:

弥撒
vi碰撞前的速度矢量
v'i碰撞后的速度矢量
Oi是中心点
xi Oi位置的向量

单位矢量n垂直于接触点处的球的表面.

$\ mathbf {n} =\frac {\ mathbf {O_1O_2}} {\ left\| \mathbf {O_1O_2}\right\|} =\frac {\ mathbf {x_2 - x_1}} {\ left\| \mathbf {x_2 - x_1}\right\|}$

单位矢量t与接触点处的球表面相切.

物理法使用

总动量的守恒表示为:

$M_1\mathbf {v'_1} + M_2\mathbf {v'_2} = M_1\mathbf {V_1} + M_2\mathbf {V_2}$

总动能守恒表示为:

$\ frac {m_1 {v'} _ 1 ^ {2}} {2} +\frac {m_2 {v'} _ 2 ^ {2}} {2} =\frac {m_1 v_1 ^ {2}} {2} +\frac {m_2 v_2 ^ {2}} {2}$

由于在切线方向上没有施加力,碰撞后速度的切向分量不变:

$\ left\{\ begin {matrix}\left\langle\mathbf {v'_1} |\mathbf {t}\right\rangle =\left\langle\mathbf {v_1} |\mathbf {t}\right\rangle \\\left\langle\mathbf {v'_2} |\mathbf {t}\right\rangle =\left\langle\mathbf {v_2} |\mathbf {t}\right\rangle\end {matrix}\right .$

证明

速度的切向分量不变.所以我们可以用正常的组件重写守恒定律,现在我们有一个问题:

$\左\ {\开始{矩阵} M_1 {\左\ langle\mathbf {v'_1} |\mathbf {N} \右\ rangle} + M_2 {\左\ langle\mathbf {v'_2} |\mathbf {n}\right\rangle} = m_1 {\ left\langle\mathbf {v_1} |\mathbf {n}\right\rangle} + m_2 {\ left\langle\mathbf {v_2} |\mathbf {n} \对\ rangle} \\ m_1 {\ left\langle\mathbf {v'_1} |\mathbf {n}\right\rangle} ^ {2} + m_2 {\ left\langle\mathbf {v'_2} |\mathbf {n}\right\rangle} ^ {2} = m_1 {\ left\langle\mathbf {v_1} |\mathbf {n}\right\rangle} ^ {2} + m_2 {\ left\langle\mathbf { v_2} |\mathbf {n}\right\rangle} ^ {2}\end {matrix}\right.$

动能守恒可以分解,然后通过动量守恒简化:

$M_1 {\左\ langle\mathbf {v'_1} |\mathbf {N} \右\ rangle} ^ {2} -m_1 {\左\ langle\mathbf {V_1} |\mathbf {N} \右\ rangle } ^ {2} = M_2 {\左\ langle\mathbf {V_2} |\mathbf {N} \右\ rangle} ^ {2} -m_2 {\左\ langle\mathbf {v'_2} |\mathbf { n}\right\rangle} ^ {2}$

$\ RIGHTARROW {\左\ langle\mathbf {v'_1} |\mathbf {N} \右\ rangle} + {\左\ langle\mathbf {V_1} |\mathbf {N} \右\ rangle} = {\ left\langle\mathbf {v_2} |\mathbf {n}\right\rangle} + {\ left\langle\mathbf {v'_2} |\mathbf {n}\right\rangle}$

我们将这最后一个表达式与动量守恒结合起来,得到v'1的正常分量 :

$\ left\langle\mathbf {v'_1} | \mathbf {n}\right\rangle =\frac {(m_1-m_2)\ left\langle\mathbf {v_1} | \mathbf {n}\right\rangle + 2 m_2\left\langle\mathbf {v_2} | \mathbf {n}\right\rangle} {m_1 + m_2} =\left\langle\mathbf {v_1} | \mathbf {n}\right\rangle-\frac {2 m_2\left\langle\mathbf {v_1-v_2} | \mathbf {n}\right\rangle} {m_1 + m_2}$

最后,我们找到viki的维基百科文章的公式:

$\ mathbf {v'_1} =\left\langle\mathbf {v'_1} | \mathbf {n}\right\rangle\mathbf {n} +\left\langle\mathbf {v'_1} | \mathbf {吨} \右\ rangle\mathbf {吨} =\mathbf {V_1} - \压裂{2m_2} {M_1 + M_2} \压裂{\左\ langle\mathbf {V_1} - \mathbf {V_2} | \mathbf {x_1} - \mathbf {x_2}\right\rangle} {{\ left\| \mathbf {x_1} - \mathbf {x_2}\right\|} ^ {2}}(\ mathbf {x_1} - \mathbf {x_2})$

v'2的公式是对称的.

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