如何理解关系代数中的除法运算符“u=r÷s”？

Question

让是一个具有以下关系方案的数据库：R(A,B,D)并且S(A,B)在同一域中具有相同名称的属性，r并且s分别具有实例和。

一个实例 r

一个实例 s

什么是方案，什么是元组u=r÷s？如何用r和用英语定义它们s？

我的尝试

我知道

u=r÷s=

这让我认为它只会是一个 A 列的数组，但我不确定在数组中会产生什么结果。

你能帮我理解u=r÷s吗？

Answer 1

Ren*_*nzo 10

关系代数的除法算子的一个直观性质就是它是笛卡尔积的逆。例如，如果您有两个关系 R 和 S，那么，如果 U 是定义为它们的笛卡尔积的关系：

U = R x S

除法是这样的运算符：

U ÷ R = S

和：

U ÷ S = R

所以，你可以把的结果U ÷ R看作：“那个的投影U，乘以R，产生U”，而操作的结果÷，作为找到所有“部分”U与的所有元组组合的操作R。

然而，为了有用，我们希望这个操作可以应用于任何一对关系，也就是说，我们想要划分一个不是笛卡尔积的结果的关系。为此，正式定义更为复杂。

因此，假设我们有两个关系 R 和 S，分别具有属性 A 和 B，它们的划分可以定义为：

R÷S = ? _AB (R) - ? _AB ((? _AB (R) x S) - R)

可以这样读：

? _AB (R) x S：将 R 投影到不在 S 中的 R 的属性上，并将此关系与 S 相乘（笛卡尔积）。这会产生与 R 的属性 A 和行的所有可能组合的关系S 和 R 的投影；
从前面的结果中减去原来在 R 中的所有元组，即执行 (? _AB (R) x S) - R。这样我们就得到了“额外”的元组，即笛卡尔积中没有的元组存在于原始关系中。
最后，从原始关系中减去那些额外的元组（但同样，仅对 S 中不存在的 R 属性执行此操作）。所以，最后的操作是： ? _AB (R) - ? _AB（步骤 2 的结果）。

因此，以您的示例为例，rD 上的投影等于：

(D)
d1
d2
d3 
d4

和笛卡尔积s是：

(A,  B,  D)
 a1  b1  d1
 a1  b1  d2
 a1  b1  d3
 a1  b1  d4

现在我们可以从这个集合中删除同样在原始关系中的r元组，即前两个元组和最后一个元组，以便我们获得以下结果：

(A,  B,  D)
 a1  b1  d3

最后，我们可以从原始关系（再次投影到 D）中删除之前的元组（投影到 D），即我们删除：

(D)
d3

从：

(D)
d1
d2
d3
d4

我们得到以下结果，这是除法的最终结果：

(D)
d1
d2
d4

最后，我们可以通过将结果与原始关系s（仅由 tuple 组成(a1, b1)）相乘来再次检查结果：

(A  B  D)
 a1 b1 d1
 a1 b1 d2
 a1 b1 d4

查看原始关系的行r，您可以看到这个事实，这应该让您对除法运算符的含义有了重要的了解：

塔的唯一值D 在r能与共同存在(a1, b1)（的唯一元组s），是d1，d2和d4。

您还可以在维基百科中查看另一个示例，有关除法的详细说明，连同其转换是 SQL，您可以查看这些幻灯片。