numpy.fft.fft是如何工作的？

Question

我目前正试图从numpy中理解fft函数.为此,我测试了以下假设:
我有两个函数,f(x) = x^2和g(x) = f'(x) = 2*x.根据傅立叶变换定律和wolfram alpha,它应该是G(w) = 2pi*i*F(w)(前因子可以变化,但应该只有一个常数因子).在python中实现它时,我写道

import numpy as np
def x2(x):
    return x*x
def nx(x):
    return 2*x

a = np.linspace(-3, 3, 16)
a1 = x2(a)
a2 = nx(a)

b1 = np.fft.fft(a1)
b2 = np.fft.fft(a2)

c = b1/b2

现在我期待一个几乎恒定的价值c,但我得到了

array([  1.02081592e+16+0.j        ,   1.32769987e-16-1.0054679j ,
         4.90653893e-17-0.48284271j,  -1.28214041e-16-0.29932115j,
        -1.21430643e-16-0.2j       ,   5.63664751e-16-0.13363573j,
        -5.92271642e-17-0.08284271j,  -4.21346622e-16-0.03978247j,
        -5.55111512e-16-0.j        ,  -5.04781597e-16+0.03978247j,
        -6.29288619e-17+0.08284271j,   8.39500693e-16+0.13363573j,
        -1.21430643e-16+0.2j       ,  -0.00000000e+00+0.29932115j,
        -0.00000000e+00+0.48284271j,   1.32769987e-16+1.0054679j ])

我的错误在哪里,我该如何按照预期使用fft？

Answer 1

您提供的属性适用于连续傅里叶变换(CFT).由FFT计算的是离散傅立叶变换(DFT),其与CFT相关但不完全等效.

确实,DFT在某些条件下与CFT成比例:即在样本限制之外对函数进行充分采样(参见本书附录E ).

上述功能都不适用,因此DFT与CFT不成比例,您的数值结果反映了这一点.

这里有一些代码通过FFT确认您感兴趣的关系,使用适当采样的带限功能:

import numpy as np

def f(x):
    return np.exp(-x ** 2)
def fprime(x):
    return -2 * x * f(x)

a = np.linspace(-10, 10, 100)
a1 = f(a)
a2 = fprime(a)

b1 = np.fft.fft(a1)
b2 = np.fft.fft(a2)
omega = 2 * np.pi * np.fft.fftfreq(len(a), a[1] - a[0])

np.allclose(b1 * 1j * omega, b2)
# True