将任意精度有理数(OCaml,zarith)转换为近似浮点数

Question

我正在使用Zarith库来进行任意精度的有理算术.假设我有一个有理数q的类型Q.t,即两个大整数的比率(Q是Zarith的任意精度有理数模块).有时,为了便于阅读,我想将此数字打印为浮点数,有时我需要将此数字浮点数转换为以后的非任意精度计算.有没有办法将q浮点数转换为一定的精度？

我转换q为浮点的方式现在无法保证,并且可以创建未定义的浮点数(Z是任意精度整数模块):

let to_float q =
  let n, d = num q, den q in
  (* check if d is zero and raise an error if it is *)
  let nf, df = Z.to_float n, Z.to_float d in
  nf /. df

有没有更好的方法来处理这个问题,我可以获得最准确接近任何浮点数的浮点数q？

编辑

如果有人有兴趣,我很快就会在OCaml中写下Mark Dickinson的回答.它可能(绝对)可以改进和清理.如果我这样做,或者如果有人有任何改进建议,我会编辑.但是现在这已经解决了我的问题!

let to_float q = 
  let n, d = num q, den q in
  let n_sign = Z.sign n in
  let d_sign = Z.sign d in (* always >= 0 *)
  if d_sign = 0 then raise Division_by_zero;
  let n = Z.abs n in
  if n_sign = 0 then 0. else
    let shift = (Z.numbits n) - (Z.numbits d) - 55 in
    let is_subnormal = shift < -1076 in
    let shift = if is_subnormal then -1076 else shift in
    let d = if shift >= 0 then Z.shift_left d shift else d in
    let n = if shift < 0 then Z.shift_left n (-shift)
      else n in
    let quotient, remainder = Z.div_rem n d in
    let quotient = if (Z.compare remainder (Z.zero)) = 0 && Z.is_even quotient then
        Z.add Z.one quotient else quotient in
    let quotient = if not is_subnormal then quotient else
        let round_select = Z.to_int @@ Z.rem quotient @@ Z.of_int 8 in
        Z.add quotient [|Z.zero;Z.minus_one;Z.of_int (-2);Z.one;Z.zero
                        ;Z.minus_one;Z.of_int 2;Z.one|].(round_select)
    in
    let unsigned_res = ldexp (Z.to_float quotient) shift in                                                                                                             
    if n_sign = 1 then unsigned_res else -.unsigned_res

我稍后会考虑为GMP的mpq_get_d函数编写一个接口,但我不完全确定如何做到这一点.我看到如何做到这一点的唯一方法是转换q : Q.t为字符串并将其传递给:

int mpq_set_str (mpq_t rop, const char *str, int base)

有谁知道如何传递rop到mpq_get_dOCaml或有一个描述如何做到这一点的参考？我查看了RWO的第19章并没有看到这样的情况.

Answer 1

如果您有权使用

• 整数log2运算，以及
• 将整数左移给定位数的能力

那么进行自己正确舍入的转换相对容易。简而言之，该方法如下所示：

1. 减少的情况下n > 0，d > 0; 过滤掉明显的下溢/上溢
2. 选择一个整数shift，使其2^-shift*n/d位于2^54和之间2^56。
3. 使用整数算术计算x = 2^-shift*n/d，使用舍入到奇数舍入方法舍入到最接近的整数。
4. 转换x为最近的IEEE 754双精度值dx，并使用通常的舍入到舍入舍入模式。
5. 返回ldexp(dx, shift)。

恐怕我不会流利使用OCaml，但是以下Python代码说明了积极输入的想法。我留给您为负输入和零除做出明显的修改。您还可能希望尽早返回极端溢出和下溢的情况：通过查找下面的额外大或小值很容易检测到这些情况shift。

from math import ldexp

def to_float(numerator, denominator):
    """
    Convert numerator / denominator to float, correctly rounded.

    For simplicity, assume both inputs are positive.
    """
    # Shift satisfies 2**54 < (numerator / denominator) / 2**shift < 2**56
    shift = numerator.bit_length() - denominator.bit_length() - 55

    # Divide the fraction by 2**shift.
    if shift >= 0:
        denominator <<= shift
    else:
        numerator <<= -shift

    # Convert to the nearest integer, using round-to-odd.
    q, r = divmod(numerator, denominator)
    if r != 0 and q % 2 == 0:
        q += 1

    # Now convert to the nearest float and shift back.
    return ldexp(float(q), shift)

一些注意事项：

• bit_length以正整数n表示的方法给出表示所需的位数n，换句话说1 + floor(log2(n))。
• divmod 是一个Python函数，可同时计算整数除法的商和余数。
• 该数量q（轻松地）适合64位整数
• 我们四舍五入：一次将转换后的numerator / denominator整数转换为最接近的整数，另一次将该整数舍入为浮点数。第一轮使用“ 从零开始”的方法；这样可以确保第二轮（从int到float的转换是隐含的）得出的结果与将小数直接舍入为float的结果相同。
• 上面的算法不能正确处理转换后的float值不合标准的小数：在这种情况下，该ldexp操作可能会引入第三次舍入。谨慎处理是可能的。参见下面的一些代码。

上面实际上是Python在将一个（大）整数除以另一个以获得浮点结果时使用的算法的简化版本。您可以在此处查看源代码。long_true_divide函数开头的注释概述了该方法。

为了完整起见，这是一个变体，也可以正确处理次等结果。

def to_float(numerator, denominator):
    """
    Convert numerator / denominator to float, correctly rounded.

    For simplicity, assume both inputs are positive.
    """
    # Choose shift so that 2**54 < numerator / denominator / 2**shift < 2**56
    shift = numerator.bit_length() - denominator.bit_length() - 55

    # The 'treat_as_subnormal' flag catches all cases of subnormal results,
    # along with some cases where the result is not subnormal but *is* still
    # smaller than 2**-1021. In all these cases, it's sufficient to find the
    # closest integer multiple of 2**-1074. We first round to the nearest
    # multiple of 2**-1076 using round-to-odd.
    treat_as_subnormal = shift < -1076
    if treat_as_subnormal:
        shift = -1076

    # Divide the fraction by 2**shift.
    if shift >= 0:
        denominator <<= shift
    else:
        numerator <<= -shift

    # Convert to the nearest integer, using round-to-odd.
    q, r = divmod(numerator, denominator)
    if r != 0 and q % 2 == 0:
        q += 1

    # Now convert to the nearest float and shift back.
    if treat_as_subnormal:
        # Round to the nearest multiple of 4, rounding ties to
        # the nearest multiple of 8. This avoids double rounding
        # from the ldexp call below.
        q += [0, -1, -2, 1, 0, -1, 2, 1][q%8]

    return ldexp(float(q), shift)