qwr*_*qwr 22 c recursion pi gmp factoring
在本文中,给出了使用二进制分裂的Chudnovsky pi公式的快速递归公式.在python中:
C = 640320
C3_OVER_24 = C**3 // 24
def bs(a, b):
if b - a == 1:
if a == 0:
Pab = Qab = 1
else:
Pab = (6*a-5)*(2*a-1)*(6*a-1)
Qab = a*a*a*C3_OVER_24
Tab = Pab * (13591409 + 545140134*a) # a(a) * p(a)
if a & 1:
Tab = -Tab
else:
m = (a + b) // 2
Pam, Qam, Tam = bs(a, m)
Pmb, Qmb, Tmb = bs(m, b)
Pab = Pam * Pmb
Qab = Qam * Qmb
Tab = Qmb * Tam + Pam * Tmb
return Pab, Qab, Tab
N = int(digits/DIGITS_PER_TERM + 1)
# Calclate P(0,N) and Q(0,N)
P, Q, T = bs(0, N)
one = 10**digits
sqrtC = sqrt(10005*one, one)
return (Q*426880*sqrtC) // T
这种方法已经非常快了,但有人提到GMP库网站上的实现gmp-chudnovsky.c也会影响二进制分裂中的分子和分母.由于代码已经过优化且难以理解,因此如何完成这一操作背后的一般概念是什么？我不知道分数是否被简化,数字是分解形式而不是完全相乘,或两者兼而有之.
这是二进制拆分的代码示例:
/* binary splitting */
void
bs(unsigned long a, unsigned long b, unsigned gflag, long int level)
{
unsigned long i, mid;
int ccc;
if (b-a==1) {
/*
g(b-1,b) = (6b-5)(2b-1)(6b-1)
p(b-1,b) = b^3 * C^3 / 24
q(b-1,b) = (-1)^b*g(b-1,b)*(A+Bb).
*/
mpz_set_ui(p1, b);
mpz_mul_ui(p1, p1, b);
mpz_mul_ui(p1, p1, b);
mpz_mul_ui(p1, p1, (C/24)*(C/24));
mpz_mul_ui(p1, p1, C*24);
mpz_set_ui(g1, 2*b-1);
mpz_mul_ui(g1, g1, 6*b-1);
mpz_mul_ui(g1, g1, 6*b-5);
mpz_set_ui(q1, b);
mpz_mul_ui(q1, q1, B);
mpz_add_ui(q1, q1, A);
mpz_mul (q1, q1, g1);
if (b%2)
mpz_neg(q1, q1);
i=b;
while ((i&1)==0) i>>=1;
fac_set_bp(fp1, i, 3); /* b^3 */
fac_mul_bp(fp1, 3*5*23*29, 3);
fp1[0].pow[0]--;
fac_set_bp(fg1, 2*b-1, 1); /* 2b-1 */
fac_mul_bp(fg1, 6*b-1, 1); /* 6b-1 */
fac_mul_bp(fg1, 6*b-5, 1); /* 6b-5 */
if (b>(int)(progress)) {
printf("."); fflush(stdout);
progress += percent*2;
}
} else {
/*
p(a,b) = p(a,m) * p(m,b)
g(a,b) = g(a,m) * g(m,b)
q(a,b) = q(a,m) * p(m,b) + q(m,b) * g(a,m)
*/
mid = a+(b-a)*0.5224; /* tuning parameter */
bs(a, mid, 1, level+1);
top++;
bs(mid, b, gflag, level+1);
top--;
if (level == 0)
puts ("");
ccc = level == 0;
if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;
if (level>=4) { /* tuning parameter */
#if 0
long t = cputime();
#endif
fac_remove_gcd(p2, fp2, g1, fg1);
#if 0
gcd_time += cputime()-t;
#endif
}
if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;
mpz_mul(p1, p1, p2);
if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;
mpz_mul(q1, q1, p2);
if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;
mpz_mul(q2, q2, g1);
if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;
mpz_add(q1, q1, q2);
if (ccc) CHECK_MEMUSAGE;
fac_mul(fp1, fp2);
if (gflag) {
mpz_mul(g1, g1, g2);
fac_mul(fg1, fg2);
}
}
if (out&2) {
printf("p(%ld,%ld)=",a,b); fac_show(fp1);
if (gflag)
printf("g(%ld,%ld)=",a,b); fac_show(fg1);
}
}
以下评论是关键:
/*
g(b-1,b) = (6b-5)(2b-1)(6b-1)
p(b-1,b) = b^3 * C^3 / 24
q(b-1,b) = (-1)^b*g(b-1,b)*(A+Bb).
*/
/*
p(a,b) = p(a,m) * p(m,b)
g(a,b) = g(a,m) * g(m,b)
q(a,b) = q(a,m) * p(m,b) + q(m,b) * g(a,m)
*/
/*
p*(C/D)*sqrt(C)
pi = -----------------
(q+A*p)
*/
注意:
p和q通过的因素k在最后的划分,它不会影响结果.p(a,m),g(a,m)以及q(a,m)通过k然后该因子将被简单地通过以进行p(a,b),g(a,b),q(a,b); 同样,如果我们要扩大各的p(m,b),g(m,b)和q(m,b)那么该因子将贯彻.这条线
fac_remove_gcd(p2, fp2, g1, fg1);
是有效的
k = gcd(p2, g1);
p2 /= k; // p(m,b) /= k
g1 /= k; // g(a,m) /= k
这有缩小的净效应p(a,b),g(a,b)以及q(a,b)通过gcd.通过前两个观察结果,这种降尺度一直干净地贯穿到最终结果.
我已经尝试了三种在Python中实现分解的方法.
gcd并不能提高速度6 * N(即可能除以g)并测试每个素数的速度会使事情减慢2到3倍.我得出结论,使用这种方法加速需要使用可变状态来跟踪因子分解,因此它对可维护性来说是一个很大的打击.
我没有查看完整的代码，但我快速浏览了一下，以便更好地理解您在问题中提供的摘录。
为了回答您问题中的一些要点，请先看一下这段代码：
typedef struct {
unsigned long max_facs;
unsigned long num_facs;
unsigned long *fac;
unsigned long *pow;
} fac_t[1];
它将新类型定义为结构（如果您根本不了解 C，可以说它就像一个嵌入变量但没有方法的基本 Pyhton 对象）。这种类型允许将整数处理为两个整数值和两个数组（例如：两个列表）：
同时，代码保留与 libgmp 类型中的大整数相同的数字（这就是函数参数中mpz_t p和 的含义）。mpz_t g
现在，您所展示的功能怎么样？它被称为fac_remove_gcd；首字母fac与前面描述的类型的名称有关；下面两个词很容易理解：将两个类型的整数fac除以它们的 gcd。
C 代码迭代两个列表中的两个因子列表；同步两个列表很容易，因为因子是有序的（else ifand语句周围的代码部分else）；每当检测到两个公共因子（初始if声明）时，除法就是一个简单的减法：在该因子的两个幂列表中减去最小幂（例如，a=2*5^3*17 和 b=3* 5^5*19，值 3 将在a和b的幂列表中与因数 5 对应的位置减去，导致 a=2*5^0*17 和 b=3*5^2*19) 。
fac在此操作期间，会创建并调用一个数字（相同类型） fmul；显然它是两个数字的最大公约数。
在此步骤之后，调用的 gcdfmul和类型fac将被转换为 GMP 大整数，函数（也在程序的代码中）称为bs_mul。这允许将 GCD 计算为大整数，以便以两种形式同步被除数的新值：大整数和特殊fac类型。一旦 GCD 被计算为一个大整数，就很容易将两个初始数除以 GCD。
因此，这些函数作用于每个初始数字的两个版本。
希望它能有所帮助。