鉴于其素数因子分解,生成一个数的所有除数

Question

我想找到范围[1,10 ⁷ ]中所有数字的除数.我知道它可以在O(sqrt(n))中解决.但是在此之前必须运行Eratosthenes的筛子,这可以很容易地修改以获得一个数字的素数因子化(通过跟踪每个数字的一​​个主要因素).所以我想知道使用其素数因子分解生成所有因子会更有效吗？
令n = p ₁ ^{k ₁}*p ₂ ^{k ₂}*....*p _m ^{k _m}

我认为这种表示法可以在O(M +ΣK获得_我)筛后.
经过一番思考后,我想出了以下代码来生成因子:

int factors[]={2,5};        // array containing all the factors
int exponents[]={2,2};      // array containing all the exponents of factors
                            // exponents[i] = exponent of factors[i]
vector <int> ans;           // vector to hold all possible factors

/*
*   stores all possible factors in vector 'ans'
*   using factors and exponents from index l to r(both inclusive)
*/
void gen(int factors[],int exponents[],vector<int>& ans,int l,int r)
{
    if(l==r)                        
    {
        int temp = 1;
        for(int i=0;i<=exponents[l];i++)
        {
            ans.push_back(temp);
            temp *= factors[l];
        }
        return;
    }
    gen(factors,exponents,ans,l+1,r);
    int temp=factors[l];
    int size = ans.size();
    for(int i=1;i<=exponents[l];i++)
    {
        for(int j=0;j<size;j++)
        {
            ans.push_back(ans[j]*temp);
        }
        temp *= factors[l];
    }
}

我认为其时间复杂度至少为Ω(没有因子)=Ω(Π(1 + k _i)).

所以我的问题是:
1)以这种方式生成因子比通常更快(O(sqrt(n))循环方法)？
2)上面给出的代码可以优化吗？

Answer 1

第一个最明显的优化是预分配答案向量.你确切知道会有多少因素(因为你已经把公式给了Π(1 + k _i)).

如果您自己管理堆栈而不是使用递归,那么您将获得最佳解决方案(每个因素只需要1次查找和1次乘法).

像这样的东西？

int factors_count = 1;
for (int i = 0; i < r; ++i)
{
    factors_count *= 1+exponents[i];
}
ans.resize(factors_count);
ans[0] = 1;
int count = 1;
for (int stack_level = 0; stack_level < r; ++stack_level)
{
    const int count_so_far = count;
    const int prime = factors[stack_level];
    const int exponent = exponents[stack_level];
    int multiplier = 1;
    for (int j = 0; j < exponent; ++j)
    {
        multiplier *= prime;
        for (int i = 0; i < count_so_far; ++i)
        {
            ans[count++] = ans[i] * multiplier;
        }
    }
}

我甚至没有尝试过编译它,所以请注意.