在两个物体碰撞的三角洲时间？

Question

如果以前发布过,我很抱歉.我似乎无法通过Stackoverflow找到关于这个主题的任何内容,也没有找到任何其他谷歌搜索.

我有两个对象,都包含位置(x和y),以及线速度(x和y).这些物体正在通过2d平面移动.我需要检测这些物体何时碰撞,如果它们会发生碰撞.我的情况最大的问题是物体的半径,因为它会在触摸时产生影响.

我在一个月的时间内尝试了各种解决方案来解决这个问题,但我只是没有攻击它.我设法做的是计算对象的两个直线公式,最后得到两个的b和c(y = mx + c).我试图将这两个公式相互比较,其中x = x和y = y,但最终得到一个非常复杂的方程式,并且不知道如何将其转换为c#.

此功能也需要在<50ms内触发,使问题复杂化.任何建议都会有很长的路要走.

Answer 1

您可以将问题表示为两个向量方程组

p1 = u1 + v1 t
p2 = u2 + v2 t

p1给定初始位置u1,速度v1和标量时间的第一个对象的位置在哪里t.我们想要解决物体刚接触的那一刻,描述

r1 + r2 = |p1 - p2|

在哪里r1和r2是对象的半径.让我们定义一些变量,这样我们的推导就更清晰了:

x  = u1.x - u2.x
y  = u1.y - u2.y
x' = v1.x - v2.x
y' = v1.y - v2.y

然后我们可以继续解决如下:

    r1 + r2    = |p1 - p2|
               = sqrt((p1.x - p2.x)^2 + (p1.y - p2.y)^2)                 definition of vector magnitude

=> (r1 + r2)^2 = (p1.x - p2.x)^2 + (p1.y - p2.y)^2                       square both sides
               = (x + x' t)^2 + (y + y' t)^2                             substitute variable definitions
               = x^2 + 2 x x' t + x'^2 t^2 + y^2 + 2 y y' t + y'^2 t^2   expand squares of sums
               = (x'^2 + y'^2) t^2 + 2 (x x' + y y') t + x^2 + y^2       rearrange terms

=> (x'^2 + y'^2) t^2 + 2 (x x' + y y') t + x^2 + y^2 - (r1 + r2)^2 = 0   rearrange terms

这是一元二次方程,所以我们可以发现t使用二次公式与

a = x'^2 + y'^2
b = 2 (x x' + y y')
c = x^2 + y^2 - (r1 + r2)^2

如果对象没有碰撞,则判别式 b^2 - 4 a c为负.如果对象在过去发生碰撞,则值t可能为负.

说到这一点,我们如何解释我们获得两个根或两个值的事实t？请考虑以下图像:

如您所见,我们获得了第一次接触的解决方案,"条目",以及当对象相交和分开时,"退出".根据您的需要,这可能很有用,但如果您只需要接触时间,请选择较小的t.