使用linalg查找特征向量

Question

我正在使用numpy的linalg.eig查找矩阵的特征值和向量。下面的矩阵具有形式为（t，0）的单个特征向量。但是python给了我不同的结果：

>>> a = np.matrix('2. 0. ; 1. 2.')
>>> print np.linalg.eig(a)
(array([ 2.,  2.]), matrix([[  0.00000000e+00,   4.44089210e-16],
        [  1.00000000e+00,  -1.00000000e+00]]))

怎么了？

Answer 1

我们会期待什么？

首先，(t, 0)不是输入矩阵的特征向量：

   | 2.  0.| x |t|  ==> [2t, t]
   | 1.  2.|   |0|

将其与：

   | 2.  0.| x |0|  ==> [0, 2t] == 2 * [0, t]
   | 1.  2.|   |t|

好吧，val = 2，vec = [0, 1]将使意义，正如其任何倍数。

舍入误差

接下来，请记住eig使用迭代近似解，因为对于> 3x3输入，不可能使用特征向量的解析解。因此，您可以忽略特征向量中的一个值不完全为零的事实。

您的输出基本上是：

eigs = [2, 2]
vecs = [[0,  0],
        [1, -1]]

请注意，的各个特征向量eig在列中，而不在行中。换句话说，我们得到的两个相同的特征值2和两个特征向量[0, 1]和[0, -1]。

只可以有一个人！

正如@WarrenWeckesser指出的那样，这是一个有缺陷的矩阵，尽管它是2x2，但仅具有一个特征向量。

因此，在数学上，我们会期待val = 2，vec = [0, 1]。相反，我们还可以得到另外一对：val = 2，vec = [0, -1]。

因此，我们期望一个特征向量并得到两个……甚至可能吗？

等一下，我们有两个相同的东西！

作为健全性检查，请注意，[0, -1]这也将是2x2输入的特征向量：

   | 2.  0.| x | 0|  ==> [0, -2t] == 2 * [0, -1]
   | 1.  2.|   |-t|

当然，这相当于val = -2，vec = [0, 1]，所以这是相同的特征向量。

那么为什么要numpy.linalg.eig给出两个输出特征向量[0, -1]且[0, 1]特征值相同的2呢？他们是同一回事！

概括地说，np.linalg.eig一个MxM矩阵是保证总是返回M特征值和特征向量。

但是，我们可以做得更好。如果那是唯一的规则，它可以找到一个然后返回它的各种倍数。

如何eig选择要返回的特征向量/值？

通常，任何给定的矩阵都有无数个特征向量，但是它们都具有关系A * x = lambda * x。

因此，要使程序给出有用的输出，就需要设置一些限制。否则，它将需要返回无数个不同但非常相似的结果。

关键是如何np.linalg.eig定义输出：

1. 输出特征向量的数量等于输入的大小（即3或3x3，4表示4x4，等等）。
2. 特征向量将具有单位长度。
3. 如果可能，输出特征向量将是正交的
4. 如果没有适当数量的正交特征向量，则线性相关特征向量的特征值将相同。

遵守规则

好的，由于输入为2x2，因此我们将获得2个特征值和2个特征向量，并且如果可能的话，将获得正交特征向量。此外，特征向量将具有单位长度，从而限制了我们获得的特征值。

但是，在这种情况下，没有两个独立的特征向量。

我们看到的是上述第四条规则正在起作用。该文档指出：

特征向量的数组v可能不会具有最大秩，也就是说，某些列可能是线性相关的，尽管舍入误差可能会掩盖这一事实。如果特征值都不同，则理论上特征向量是线性独立的。

我们知道可以保证产生2个特征向量。从上面的文本中，我们可以推断出，如果它们实际上是相同的向量，将通过使特征值相同来表明这一点。

因此，在这种情况下，我们有一个2x2矩阵，其特征值/向量为2和[0, 1]：

如果特征值必须是相同的，并且本征向量必须有一个的单位长度，则唯一的其他有效的组合是val = 2，vec=[0, -1]。