计算空间弧的边界坐标的公式

Question

我有两条线相交于已知坐标的点 - x1,y1 - x2,y2 - x3,y3

由此我计算了线之间给定半径的圆弧。所以我现在知道 - 2 个圆弧端点 x4,y4 和 x5,y5 - 圆弧中心点 Cx,Cy - 圆弧半径 r - 相对于极坐标 X 轴的起始和结束角度，因此是线之间的角度。

我想创建一个公式来计算弧的最大和最小 X 和 Y 值。即包围圆弧的盒子的坐标。

在下面的例子中，我可以找到最小X值和最大Y值，它们是已知值，但不确定如何计算最大X和最小Y。

在其他情况下，弧可以是任何坐标，因此已知的最小值和最大值将会改变。

我知道如何计算沿弧线给定角度或间隔的点，但不知道特定方向（在本例中为 X 轴和 Y 轴）上的最大值和最小值。

我将在编程中使用该公式。

Answer 1

假设我们有起始角\xce\xb81、结束角\xce\xb82（均为弧度）、半径r、弧线逆时针方向。我们想要找到Xmax、Ymax、Xmin和Ymin。将此值视为象限 q=f(\xce\xb8) 的函数：

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Xmax=f(q1,q2,r)，Ymax=f(q1,q2,r)，Xmin=f(q1,q2,r)，Ymin=f(q1,q2,r)。

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不用编写大量的“if”语句，可以方便地将这个函数表示为“极值矩阵”。评估函数 f(q1,q2,r) 我们最终会得到这个矩阵。

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所以这是算法：

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1. 查找\xce\xb81和\xce\xb82的象限 ( q1 , q2 )；
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2. 将\xce\xb81、\xce\xb82、r转换为笛卡尔坐标；
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3. 找到排除极值点的边界框；
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4. 构建极值矩阵；
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5. 根据q1和q2从此矩阵中选择Xmax、Ymax、Xmin、Ymin。
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这是我的 C#6 实现：

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using System;\nusing System.Windows;\nusing static System.Math;\n\npublic static class GeomTools\n{\n    public static Byte GetQuadrant(this Double angle)\n    {\n        var trueAngle = angle%(2*PI);\n        if (trueAngle >= 0.0 && trueAngle < PI/2.0)\n            return 1;\n        if (trueAngle >= PI/2.0 && trueAngle < PI)\n            return 2;\n        if (trueAngle >= PI && trueAngle < PI*3.0/2.0)\n            return 3;\n        if (trueAngle >= PI*3.0/2.0 && trueAngle < PI*2)\n            return 4;\n        return 0;\n    }\n    public static Rect GetBounds(Double startAngle, Double endAngle, Double r)\n    {\n        var startQuad = startAngle.GetQuadrant() - 1;\n        var endQuad = endAngle.GetQuadrant() - 1;\n\n        // Convert to Cartesian coordinates.\n        var stPt = new Point(Round(r*Cos(startAngle), 14), Round(r*Sin(startAngle), 14));\n        var enPt = new Point(Round(r*Cos(endAngle), 14), Round(r*Sin(endAngle), 14));\n\n        // Find bounding box excluding extremum.\n        var minX = stPt.X;\n        var minY = stPt.Y;\n        var maxX = stPt.X;\n        var maxY = stPt.Y;\n        if (maxX < enPt.X) maxX = enPt.X;\n        if (maxY < enPt.Y) maxY = enPt.Y;\n        if (minX > enPt.X) minX = enPt.X;\n        if (minY > enPt.Y) minY = enPt.Y;\n\n        // Build extremum matrices.\n        var xMax = new[,] {{maxX, r, r, r}, {maxX, maxX, r, r}, {maxX, maxX, maxX, r}, {maxX, maxX, maxX, maxX}};\n        var yMax = new[,] {{maxY, maxY, maxY, maxY}, {r, maxY, r, r}, {r, maxY, maxY, r}, {r, maxY, maxY, maxY}};\n        var xMin = new[,] {{minX, -r, minX, minX}, {minX, minX, minX, minX}, {-r, -r, minX, -r}, {-r, -r, minX, minX}};\n        var yMin = new[,] {{minY, -r, -r, minY}, {minY, minY, -r, minY}, {minY, minY, minY, minY}, {-r, -r, -r, minY}};\n\n        // Select desired values\n        var startPt =new Point(xMin[endQuad, startQuad], yMin[endQuad, startQuad]);\n        var endPt=new Point(xMax[endQuad, startQuad], yMax[endQuad, startQuad]);\n        return new Rect(startPt,endPt);\n    }\n}\n

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对于位于 (0,0) 的圆弧中心点来说是公平的，但您可以轻松地将生成的边界框移动到 Cx,Cy。

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与Tim Buegeleisen的近似解决方案不同，该解决方案是精确的，尽管它可能会消耗更多的内存。

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