Pet*_*lák 12 monads haskell category-theory comonad free-monad
在这个答案中"Monad可以成为一个comonad吗？" 我们看到了
每个Cofree Comonad对一个Alternative functor都会产生一个Monad.
什么是双重的？是否有一类函子可以自动为它们创建一个免费的monad？
是的，你可以对结构进行对偶化，但是生成的类的唯一成员是空函子，其自由单子（身份单子）确实也是一个共单子。不是很令人兴奋。
\n\n您所指的构造实际上只需要很少的时间，因此让我们放弃 Hask 的包袱并按以下一般性进行工作。让
\n\n(C, \xe2\x8a\x97, 1) 是幺半群范畴
F : C -> C 幺半群值函子，即存在映射 1 -> FX 和 FX \xe2\x8a\x97 FX -> FX 在 X 中是自然的，并且是单位和结合的
定义 TX = X \xe2\x8a\x97 F(TX)。假设这个递归定义在某种程度上是有意义的，我们可以对 T 进行递归定义。然后我们可以将 T 变成具有以下结构映射的 monad：
\n\n单位由
\n\n X = X \xe2\x8a\x97 1\n -> X \xe2\x8a\x97 F(TX) [unit map of F]\n = TX\n加入由
\n\nT(TX) = TX \xe2\x8a\x97 F(TTX)\n = X \xe2\x8a\x97 F(TX) \xe2\x8a\x97 F(TTX)\n -> X \xe2\x8a\x97 F(TX) \xe2\x8a\x97 F(TX) [join recursively under F]\n -> X \xe2\x8a\x97 F(TX) [multiplication of F]\n = TX\n当 \xe2\x8a\x97 是笛卡尔积时，此构造是您引用的替代函子上的自由 comonad 上的 monad 结构。事实上，替代结构的应用部分是无关紧要的。仅需要 Alternative 本身（加上 Functor）的类方法：一个幺半群值函子。从元素角度来说，构成上述连接的步骤由下式给出
\n\n(x :< xs) :< xss -> (x :< xs, xss)\n -> (x, xs, xss)\n -> (x, xs, fmap join xss)\n -> (x, xs <|> fmap join xss)\n -> x :< (xs <|> fmap join xss)\n这很容易看出（通过设置k = id）同意
(a :< m) >>= k = case k a of\n b :< n -> b :< (n <|> fmap (>>= k) m)\n由于我们最初的结构非常小，因此很容易对偶化。因此让 (C, \xe2\x8a\x97, 1) 继续是一个幺半群范畴，但现在假设
\n\n然后我们可以定义 UX = X \xe2\x8a\x97 G(UX) （再次假设这在某种程度上是有意义的），并通过对偶结构为 U 配备一个共同的结构。从某种意义上说，这是这里的真正答案，但是为了解决您的具体问题，我们应该考虑 \xe2\x8a\x97 的某些具体选择会发生什么。
\n\n首先假设 \xe2\x8a\x97 再次是笛卡尔积。然后每个函子 G 都以独特的方式具有共形值（共性迫使 GX -> GX x GX 成为对角线）。因此，对于任何函子 G，我们得到一个共同函数 UX = X x G(UX)。事实上，这只是函子构造上常见的 cofree comonad（证明你的口号中的“cofree comonad”部分是合理的；当 F 是幺半群值时，我们可以设置 G = F 并且 G 自动是 comonoid 值，然后 T和 U 具有相同的底层函子）。
\n\n对偶地，如果 \xe2\x8a\x97 是余积 \xe2\xa8\xbf，则任何对 \xe2\xa8\xbf 具有共幺值的 G 也以独特的方式对 \xe2\xa8\xbf 具有幺幺值，因此UX = X \xe2\xa8\xbf G(UX) 也是 G 上的自由单子，也是一个共单子。
\n\n但在 Hask 中，\xe2\xa8\xbf 的单位对象是空类型 0，并且 G 的单位应该具有类型 GX -> 0，只有当所有 X 的 GX = 0 时才有可能（这在任何笛卡尔封闭类别）。因此，Hask 中没有这种构造的有趣示例。这种缺乏对称性是类似于 Set 的范畴的典型现象。
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