OpenGL中的投影矩阵真的是“投影矩阵”吗？

Question

投影矩阵将向量从高维空间投影到子空间。我本来希望 OpenGL 中的投影矩阵将 R ^{3 中的}一个点投影到二维平面上。这似乎得到了互联网上很多文献的支持。许多站点暗示投影矩阵将 3D 世界投影到平面上，这就是绘制的内容。然而，我觉得这些解释中的大多数都跳过了几个步骤。他们中的许多人似乎相互矛盾，所以我想澄清一下我从自己的分析中得出的结论。

有人可以确认（或纠正错误）：

1. OpenGL 中的投影变换实际上不是一个投影矩阵，而是将一个点变换到裁剪空间（它仍然是 R ³域的一部分），并且实际投影到 2D 平面上是稍后作为管道的固定函数发生的。
2. 投影矩阵不应用透视划分；然而，它确实需要设置 w 坐标，以便在稍后发生透视分割时（作为管道的固定功能）点正确放置在 NDC 的内部或外部。
3. 裁剪空间是 x,y 轴上 (-1,+1) 和 z 轴上 (n,f) 之间的框，而 NDC 是所有轴上 (-1,+1) 之间的框。

我分析了以下投影矩阵，得出上述结论：

[ 2n/(r-l)     0     (r+l)/(r-b)      0     ]
[    0     2n/(t-b)  (t+b)/(t-b)      0     ]
[    0         0    -(f+n)/(f-n) -2fn/(f-n) ]
[    0         0         -1           0     ]

根据该分析，我得出结论，截锥体内的任何点都将位于沿 x,y 轴的剪辑边界内；它可能在沿 z 轴的边界之外，但是一旦发生透视分割（w 现在是旧的 -z），该点将完全在剪辑空间内。

由此我还得出结论，对于在 MVP 变换之后可见的点，它的 x、y 和 z/w 坐标必须在 +/-1 之间，并且透视分割和实际投影发生在顶点着色器之后。

如果适用的答案仅适用于现代 OpenGL（3.3 核心或更高版本）。

Answer 1

1. OpenGL 中的投影矩阵将点变换到裁剪空间。但这已经是一个预测了。矩阵乘法之后唯一要做的就是透视除法。

2. 真的

3. 剪辑空间是每个轴上从 [-w 到 w] 的空间，因为剪辑空间和 NDC 之间发生的唯一操作是透视划分。每个轴上的 NDC 范围为 [-1 到 1]。

补充笔记：

• 从数学上讲，OpenGL 投影矩阵将 4D 空间 (P^4) 映射到另一个 4D 空间（剪辑空间）。这可以通过矩阵的形式轻松看出（4x4 矩阵映射 4D -> 4D）。通过透视划分，4D 剪辑空间被同质化截断为 3D NDC (R^3) 空间。
• 当 x、y、z 坐标位于 [-w, w] 之间时，点在投影后可见。剪裁发生在透视分割之前的原因是，NDC不一定是立方空间（在OpenGL中是立方空间，但在DirectX中，例如，NDC是[-1,1]中的x,y，[0,1]中的z） 1])

• 几何投影通常被定义为从一个空间 (O) 到另一个空间 (T) 的映射 p。这将写成

  O --p--> T

  在某些情况下，这样的映射可以通过欧几里得空间中的变换矩阵来描述（例如，平行投影就可以），但在很多情况下这是不可能的（特别是在 O 中的平行线不平行的情况下） T 中还有更多）。这就是需要射影空间的原因。

我现在最好停在这里，因为从数学的角度来看它变得越来越复杂，但如果您想深入研究这个主题，我建议您阅读以下文章：

维基百科射影空间
维基百科射影几何
关于一般投影的视频（这个和下一个）