强制 nls 拟合通过指定点的曲线

Question

我正在尝试将 Boltzmann sigmoid 拟合1/(1+exp((x-p1)/p2))到这个小型实验数据集：

xdata <- c(-60,-50,-40,-30,-20,-10,-0,10)
ydata <- c(0.04, 0.09, 0.38, 0.63, 0.79, 1, 0.83, 0.56)

我知道这很简单。例如，使用nls：

fit <-nls(ydata ~ 1/(1+exp((xdata-p1)/p2)),start=list(p1=mean(xdata),p2=-5))

我得到以下结果：

Formula: ydata ~ 1/(1 + exp((xdata - p1)/p2))

Parameters:
   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
p1  -33.671      4.755  -7.081 0.000398 ***
p2  -10.336      4.312  -2.397 0.053490 .  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.1904 on 6 degrees of freedom

Number of iterations to convergence: 13 
Achieved convergence tolerance: 7.079e-06

但是，我需要（由于理论原因）拟合曲线精确地通过点(-70, 0)。尽管上面显示的拟合表达式的值在 处接近零x = -70，但它并不完全为零，这不是我想要的。

所以，问题是：有没有办法告诉nls（或其他函数）拟合相同的表达式但强制它通过指定的点？

更新：

正如评论中提到的那样，使用我提供的函数（Boltzmann sigmoid）强制拟合通过点 (-70,0) 在数学上是不可能的。另一方面，@Cleb 和@BenBolker 已经解释了如何强制拟合通过任何其他点，例如 (-50, 0.09)。

Answer 1

正如我们在您的问题下方的评论中所讨论的那样，使用您提供的函数（没有偏移）无法强制拟合通过 0。

但是，您可以通过设置weights单个数据点来强制曲线通过其他数据点。因此，例如，如果您给数据点 A 的权重等于 1，给数据点 B 的权重等于 1000，则数据点 B 更重要（就将要最小化的残差总和的贡献而言）拟合比 A 和拟合因此将被迫通过 B。

这是整个代码，我在下面更详细地解释它：

# your data
xdata <- c(-60, -50, -40, -30, -20, -10, -0, 10)
ydata <- c(0.04, 0.09, 0.38, 0.63, 0.79, 1, 0.83, 0.56)
plot(xdata, ydata, ylim=c(0, 1.1))
fit <-nls(ydata ~ 1 / (1 + exp((xdata - p1) / p2)), start=list(p1=mean(xdata), p2=-5))

# plot the fit
xr = data.frame(xdata = seq(min(xdata), max(xdata), len=200))
lines(xr$xdata, predict(fit, newdata=xr))

# set all weights to 1, do the fit again; the plot looks identical to the previous one
we = rep(1, length(xdata))
fit2 = nls(ydata ~ 1 / (1 + exp((xdata - p1) / p2)), weights=we, start=list(p1=mean(xdata) ,p2=-5))
lines(xr$xdata, predict(fit2, newdata=xr), col='blue')

# set weight for the data point -30,0.38, and fit again
we[3] = 1000
fit3 = nls(ydata ~ 1 / (1 + exp((xdata - p1) / p2)), weights=we, start=list(p1=mean(xdata), p2=-5))
lines(xr$xdata, predict(fit3, newdata=xr), col='red')
legend('topleft', c('fit without weights', 'fit with weights 1', 'weighted fit for -40,0.38'), 
       lty=c(1, 1, 1),
       lwd=c(2.5, 2.5, 2.5),
       col=c('black', 'blue', 'red'))

输出如下所示；如您所见，拟合现在通过所需的数据点（红线）：

那么发生了什么：我首先像你一样适合，然后我适合所有权重都设置为 1 的权重；因此，该图看起来与之前的相同，蓝线隐藏了黑线。然后 - 对于fit3- 我将第三个数据点的权重更改为 1000，这意味着现在最小二乘拟合比其他点更“重要”，并且新拟合通过该数据点（红线）。

这也是我更改行的第二个示例

we[3] = 1000

到

we[2] = 1000

这迫使拟合通过第二个数据点：

如果您想获得有关该weights参数的更多信息，可以在此处阅读：文档