如何在圆中生成齐次泊松点过程？

Question

我想在圆心 (0,0) 和半径 R=200 的圆 C 中生成 N 个点。这些点遵循泊松分布。换句话说，我想在 C 中生成 N 个齐次泊松点过程（HPPP）。

我发现了这篇论文生成均匀泊松过程。在第 2 节中，正是我想要的。具体来说，在第 4 页中，算法 3 在 C 内部生成点 HPPP。

我在 Python 中实现了这段代码，如下所示：

""" Main Codes """    
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np


lamb = 0.0005 # the rate
pi = np.pi # pi = 3.14...
r = 200 # the radius of the circle C
mean = lamb * pi * r ** 2 # the mean of the Poisson random variable n
n = np.random.poisson(mean) # the Poisson random variable (i.e., the number of points inside C)
u_1 = np.random.uniform(0.0, 1.0, n) # generate n uniformly distributed points 
radii = np.zeros(n) # the radial coordinate of the points
for i in range(n):
    radii[i] = r * (np.sqrt(u_1[i]))
u_2 = np.random.uniform(0.0, 1.0, n) # generate another n uniformly distributed points 
angle = np.zeros(n) # the angular coordinate of the points
for i in range(n):
    angle[i] = 2 * pi * u_2[i]

""" Plots """
fig = plt.gcf()
ax = fig.gca()
plt.xlim(-300, 300)
plt.ylim(-300, 300)
circ = plt.Circle((0, 0), radius=200, color='r', linewidth=2, fill=False)
plt.polar(angle, radii, 'bo')
ax.add_artist(circ)
plt.show()

首先，我看不到圆圈内的点。其次，我不知道为什么点不能在圆内正确生成。我的代码有问题吗？

输出如下： 圆圈 C 为红色。

Answer 1

我找到了答案。我只是将极坐标转换为笛卡尔坐标，然后用plt.plot()not with进行绘图plt.polar()。

# Cartesian Coordinates
x = np.zeros(n)
y = np.zeros(n)
for i in range(n):
    x[i] = radii[i] * np.cos(angle[i])
    y[i] = radii[i] * np.sin(angle[i])

plt.plot(x,y,'bo')

所以我得到了想要的输出。