如何在 JavaScript 中求数字序列的总和

Question

for (var x = 0; x < 10; x++) {\n    if (x % 3 === 0 || x % 5 === 0) {\n        console.log(x)\n    }\n}\n

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这会打印出：0,3,5,6,9。我想要一个输出\xe2\x80\x94总和，或23\xe2\x80\x94并打印一次console.log，而不是单独打印每个术语。

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我怎样才能找到这个序列的总和？

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Answer 1

循环固然很好，但这个问题实际上只是数学问题。我们可以做得更好，在常数时间内求和。

等差数列是指项之间的差恒定时的数列。例如，

1, 2, 3, 4, 5...

是一个算术数列d，其中项之间的差为 1。

0, 2, 4, 6, 8...

是ad为2的算术数列。

如果我们看一下我们的序列：

0, 3, 5, 6, 9...

我们很快就能看到有两个重叠的算术序列（3n和5n）：

0, 5, 10, 15... and 0, 3, 6, 9, 12, 15...

然后我们可以很快看到共享项是 15 的倍数。

求总和比看起来容易。我们可以使用有史以来最伟大的数学家之一卡尔·弗里德里希·高斯（Karl Friedrich Gauss）在很小的时候就凭直觉（但没有发现）的方法（iirc，6 岁）。

让我们再看看我们的3n序列：

0, 3, 6, 9, 12, 15...

你看到一个模式了吗？如果我们抽对，从每一端取一个数字......

0 and 15
3 and 12
6 and 9

我们最终得到常数和 15。由此，我们可以得出一个公式。

有多少对？n / 2，其中n是项数。

每对的总和是多少？a1 + aN，其中a1是第一项，aN是最后一项。

这意味着我们的总和是

S = (n / 2) * (a1 + aN)

我们快到了。如果我们将两个序列的和相加，我们会得到一点额外的结果。为什么？

0, 3, 6, 9, 12, 15...
0, 5, 10, 15...

我们数15的倍数两次！但这很容易解释：

grandTotal = sum3 + sum5 - sum15

我们的解决方案（您可能更感兴趣arithmeticProgression）：

/*
    finds the sum of two arithmetic sequences, on [min, max] (inclusive)
    for two numbers a and b
*/
function getSum (min, max, a, b) {    
    function arithmeticProgression (start, stop, m) {
        // find the nearest multiple of m greater than or equal to the starting bound
        start = m * Math.ceil(start / m)

        // find the nearest multiple of m less than or equal to the ending bound
        stop = m * Math.floor(stop / m)

        // the number of terms, e.g., in 0, 2, 4, 6, 8
        // we have 5 terms because of (max - min)/delta + 1
        // or, ((8 - 0) / 2) + 1 = 4 + 1 = 5
        var terms = ((stop - start) / m) + 1

        // our formula from before
        return (terms / 2) * (start + stop)
    }
    var sum3 = arithmeticProgression(min, max, a)
    var sum5 = arithmeticProgression(min, max, b)
    var sum15 = arithmeticProgression(min, max, a * b)

    return sum3 + sum5 - sum15
}

测试：

console.log(getSum(0, 9, 3, 5) === 23)   // true