Dus*_*ell 17 algorithm sparse-matrix matrix-multiplication data-structures
我有一个非常大的矩阵(100M行乘100M列),它有很多重复的值,彼此相邻.例如:
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 4 8 8 1 1 1 1 1 8 8 8 8
8 4 8 8 1 1 1 1 1 8 8 8 8
8 4 8 8 1 1 1 1 1 8 8 8 8
8 4 8 8 1 1 1 1 1 8 8 8 8
8 4 8 8 1 1 1 1 1 8 8 8 8
8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8
8 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
我想要一个数据结构/算法来尽可能紧凑地存储像这样的基质.例如,上面的矩阵应该只占用O(1)空间(即使矩阵被任意拉伸),因为只有恒定数量的矩形区域,其中每个区域只有一个值.
重复发生在行和下行中,因此逐行压缩矩阵的简单方法不够好.(这将需要至少O(num_rows)空间来存储任何矩阵.)
矩阵的表示也需要逐行访问,以便我可以对列向量进行矩阵乘法.
And*_*tus 10
现在我的首选方法.
好吧,正如我在之前的答案行中提到的那样,矩阵A中每列中的相同条目将在矩阵AB中相乘得到相同的结果.如果我们能够维持这种关系,那么我们理论上可以大大加快计算速度(探查器是你的朋友).
在这个方法中,我们维护矩阵的row*列结构.
每行都用任何方法压缩,可以足够快地解压缩,不会过多地影响乘法速度.RLE可能就足够了.
我们现在有一个压缩行列表.
我们使用熵编码方法(如Shannon-Fano,Huffman或算术编码),但我们不用此压缩行中的数据,我们用它来压缩行集.我们用它来编码行的相对频率.即我们对待行的方式与标准熵编码处理字符/字节的方式相同.
在这个例子中RLE压缩一排,和Huffman压缩整个所述组的行.
因此,例如,给定以下矩阵(前缀为行号,霍夫曼用于解释)
0 | 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 |
1 | 8 4 8 8 1 1 1 1 1 8 8 8 8 |
2 | 8 4 8 8 1 1 1 1 1 8 8 8 8 |
3 | 8 4 8 8 1 1 1 1 1 8 8 8 8 |
4 | 8 4 8 8 1 1 1 1 1 8 8 8 8 |
5 | 8 4 8 8 1 1 1 1 1 8 8 8 8 |
6 | 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 |
7 | 8 8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 |
运行长度编码
0 | 8{13} |
1 | 8{1} 4{1} 8{2} 1{5} 8{4} |
2 | 8{1} 4{1} 8{2} 1{5} 8{4} |
3 | 8{1} 4{1} 8{2} 1{5} 8{4} |
4 | 8{1} 4{1} 8{2} 1{5} 8{4} |
5 | 8{1} 4{1} 8{2} 1{5} 8{4} |
6 | 8{13} |
7 | 8{2} 3{11} |
因此,0和6出现两次,1 - 5出现5次.7只一次.
频率表
A: 5 (1-5) | 8{1} 4{1} 8{2} 1{5} 8{4} |
B: 2 (0,6) | 8{13} |
C: 1 7 | 8{2} 3{11} |
哈夫曼树
0|1
/ \
A 0|1
/ \
B C
因此,在这种情况下,需要一位(对于每一行)对行1-5进行编码,并且对于对行0,6和7进行编码需要2位.
(如果运行时间超过几个字节,那么就在你进行RLE时建立的哈希上对freq进行计数).
存储Huffman树,唯一字符串和行编码位流.
关于Huffman的好处是它具有唯一的前缀属性,所以你总能知道你何时完成.因此,给定位串,10000001011您可以从存储的唯一字符串和树重建矩阵A. 编码的比特流告诉您行出现的顺序.
您可能希望研究自适应霍夫曼编码或其算术对应.
看到具有相同列条目的A中的行与AB相对于矢量B的相同结果相乘,您可以缓存结果并使用它而不是再次计算它(如果可以的话,最好避免100M*100M乘法).
链接到更多信息:
一个对比
未压缩
0 1 2 3 4 5 6 7
=================================
0 | 3 3 3 3 3 3 3 3 |
|-------+ +-------|
1 | 4 4 | 3 3 3 3 | 4 4 |
| +-----------+---+ |
2 | 4 4 | 5 5 5 | 1 | 4 4 |
| | | | |
3 | 4 4 | 5 5 5 | 1 | 4 4 |
|---+---| | | |
4 | 5 | 0 | 5 5 5 | 1 | 4 4 |
| | +---+-------+---+-------|
5 | 5 | 0 0 | 2 2 2 2 2 |
| | | |
6 | 5 | 0 0 | 2 2 2 2 2 |
| | +-------------------|
7 | 5 | 0 0 0 0 0 0 0 |
=================================
= 64个字节
四叉树
0 1 2 3 4 5 6 7
=================================
0 | 3 | 3 | | | 3 | 3 |
|---+---| 3 | 3 |---+---|
1 | 4 | 4 | | | 4 | 4 |
|-------+-------|-------+-------|
2 | | | 5 | 1 | |
| 4 | 5 |---+---| 4 |
3 | | | 5 | 1 | |
|---------------+---------------|
4 | 5 | 0 | 5 | 5 | 5 | 1 | 4 | 4 |
|---+---|---+---|---+---|---+---|
5 | 5 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
|-------+-------|-------+-------|
6 | 5 | 0 | 0 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
|---+---+---+---|---+---+---+---|
7 | 5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
=================================
0 +- 0 +- 0 -> 3
| +- 1 -> 3
| +- 2 -> 4
| +- 3 -> 4
+- 1 -> 3
+- 2 -> 4
+- 3 -> 5
1 +- 0 -> 3
+- 1 +- 0 -> 3
| +- 1 -> 3
| +- 2 -> 4
| +- 3 -> 4
+- 2 +- 0 -> 5
| +- 1 -> 1
| +- 2 -> 5
| +- 3 -> 1
+- 3 -> 4
2 +- 0 +- 0 -> 5
| +- 1 -> 0
| +- 2 -> 5
| +- 3 -> 0
+- 1 +- 0 -> 5
| +- 1 -> 5
| +- 2 -> 0
| +- 3 -> 2
+- 2 +- 0 -> 5
| +- 1 -> 0
| +- 2 -> 5
| +- 3 -> 0
+- 3 +- 0 -> 0
+- 1 -> 2
+- 2 -> 0
+- 3 -> 0
3 +- 0 +- 0 -> 5
| +- 1 -> 1
| +- 2 -> 2
| +- 3 -> 2
+- 1 +- 0 -> 4
| +- 1 -> 4
| +- 2 -> 2
| +- 3 -> 2
+- 2 +- 0 -> 2
| +- 1 -> 2
| +- 2 -> 0
| +- 3 -> 0
+- 3 +- 0 -> 2
+- 1 -> 2
+- 2 -> 0
+- 3 -> 0
((1*4) + 3) + ((2*4) + 2) + (4 * 8) = 49 leaf nodes
49 * (2 + 1) = 147 (2 * 8 bit indexer, 1 byte data)
+ 14 inner nodes -> 2 * 14 bytes (2 * 8 bit indexers)
= 175 Bytes
地区哈希
0 1 2 3 4 5 6 7
=================================
0 | 3 3 3 3 3 3 3 3 |
|-------+---------------+-------|
1 | 4 4 | 3 3 3 3 | 4 4 |
| +-----------+---+ |
2 | 4 4 | 5 5 5 | 1 | 4 4 |
| | | | |
3 | 4 4 | 5 5 5 | 1 | 4 4 |
|---+---| | | |
4 | 5 | 0 | 5 5 5 | 1 | 4 4 |
| + - +---+-------+---+-------|
5 | 5 | 0 0 | 2 2 2 2 2 |
| | | |
6 | 5 | 0 0 | 2 2 2 2 2 |
| +-------+-------------------|
7 | 5 | 0 0 0 0 0 0 0 |
=================================
0: (4,1; 4,1), (5,1; 6,2), (7,1; 7,7) | 3
1: (2,5; 4,5) | 1
2: (5,3; 6,7) | 1
3: (0,0; 0,7), (1,2; 1,5) | 2
4: (1,0; 3,1), (1,6; 4,7) | 2
5: (2,2; 4,4), (4,0; 7,0) | 2
区域:(3 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2)*5 = 55字节{4字节矩形,1字节数据)
{查找表是一个排序数组,因此它不需要额外的存储空间}.
霍夫曼编码RLE
0 | 3 {8} | 1
1 | 4 {2} | 3 {4} | 4 {2} | 2
2,3 | 4 {2} | 5 {3} | 1 {1} | 4 {2} | 4
4 | 5 {1} | 0 {1} | 5 {3} | 1 {1} | 4 {2} | 5
5,6 | 5 {1} | 0 {2} | 2 {5} | 3
7 | 5 {1} | 0 {7} | 2
RLE Data: (1 + 3+ 4 + 5 + 3 + 2) * 2 = 36
Bit Stream: 20 bits packed into 3 bytes = 3
Huffman Tree: 10 nodes * 3 = 30
= 69 Bytes
一个巨大的RLE流
3{8};4{2};3{4};4{4};5{3};1{1};4{4};5{3};1{1};4{2};5{1};0{1};
5{3};1{1};4{2};5{1};0{2};2{5};5{1};0{2};2{5};5{1};0{7}
= 2 * 23 = 46 Bytes
一个巨型RLE流使用公共前缀折叠编码
3{8};
4{2};3{4};
4{4};5{3};1{1};
4{4};5{3};
1{1};4{2};5{1};0{1};5{3};
1{1};4{2};5{1};0{2};2{5};
5{1};0{2};2{5};
5{1};0{7}
0 + 0 -> 3{8};4{2};3{4};
+ 1 -> 4{4};5{3};1{1};
1 + 0 -> 4{2};5{1} + 0 -> 0{1};5{3};1{1};
| + 1 -> 0{2}
|
+ 1 -> 2{5};5{1} + 0 -> 0{2};
+ 1 -> 0{7}
3{8};4{2};3{4} | 00
4{4};5{3};1{1} | 01
4{4};5{3};1{1} | 01
4{2};5{1};0{1};5{3};1{1} | 100
4{2};5{1};0{2} | 101
2{5};5{1};0{2} | 110
2{5};5{1};0{7} | 111
Bit stream: 000101100101110111
RLE Data: 16 * 2 = 32
Tree: : 5 * 2 = 10
Bit stream: 18 bits in 3 bytes = 3
= 45 bytes