为无限和写一个公式,为什么这不能写成？

Question

我在Java中写一个无限的和匹配 -

sqrt(t)*sech(t)^2 dtfrom t=0to t=infinity(无限和从开始t = 0然后结束t = infinity.我正在引用Wolfram Alpha(Mathematica)来比较我的结果).

在更多的数学术语中,这(基本上)是程序正在做的事情.我注意到这是平方(双曲线)割线.虽然,最大值实际上是无限的 -

integrate sqrt(t)*sech(t)^2 dt from t=0 to t=1000

为了匹配这个无限的总和,我在下面写了一个简短的程序.

public class TestSum {
   public static void main(String[] args) {
           newForm(0.5);
   }

   public static double newForm(double s) {
    int n = 0;
    double currentSum = 0;

    while (n < 1000) {
        double sech = 1 / Math.cosh(n);
        double squared = Math.pow(sech, 2);
        currentSum = ((Math.pow(n, s))*squared) + currentSum;
        if(n == 999)
            System.out.println("The current sum is " + currentSum);
        n++;
    }
    return currentSum;
   }
}

当我把它插入Mathematica/Wolfram时,我得到 -

integrate sqrt(t)*sech(t)^2 dt from t=0 to t=1000
integral_0^1000 sqrt(t) sech^2(t) dt = 0.758128

运行程序的结果是 -

run:
The current sum is 0.5401365941579325
BUILD SUCCESSFUL (total time: 0 seconds)

我很确定Mathematica没有错.我的计划有什么问题？

Answer 1

您的解决方案不够准确.

积分可以用黎曼和来近似

在维基百科上看到Riemann Sum.

delta x(或在你的情况下为delta t)越小,结果越好.

在您的解决方案中delta t = 1,所以近似值并不是很好.

更好地近似结果的可能解决方案是使用:

public class TestSum {
   public static void main(String[] args) {
          double result= integrate(0, 1000);
          System.out.print("result = " + result );
   }

   public static double integrate(double start, double end) {
    double currentIntegralValue = 0;
    double dt=0.01d;
    double t = start;

    while (Math.abs(end - t) >= dt && t-end < 0) {
        currentIntegralValue += fn(t)*dt;
        t += dt;
    }
    return currentIntegralValue;
   }

   private static double fn(double t) {
        double sech = 1 / Math.cosh(t);
        double squared = Math.pow(sech, 2);
        return  ((Math.pow(t, 0.5))*squared); 
   }
}

结果= 0.7579201343666041

您可以使用更小的结果进一步改善结果dt.

dt=0.00001d

结果= 0.7581278135568323