具有相等和不等式约束的R优化

Question

我试图找到函数的局部最小值,并且参数具有固定的总和.例如,

Fx = 10 - 5x1 + 2x2 - x3

条件如下,

x1 + x2 + x3 = 15

(x1,x2,x3)> = 0

其中x1,x2和x3的总和具有已知值,并且它们都大于零.在R中,它看起来像这样,

Fx = function(x) {10 - (5*x[1] + 2*x[2] + x[3])}
opt = optim(c(1,1,1), Fx, method = "L-BFGS-B", lower=c(0,0,0), upper=c(15,15,15))

我还尝试使用constrOptim的不等式来强制求和.我仍然认为这可能是一个看似合理的工作,但我无法使其发挥作用.这是真实问题的简化示例,但任何帮助都将非常感激.

Answer 1

在这种情况下optim显然不会有效,因为你有相等的约束.constrOptim不会出于同样的原因(我尝试将等式转换为两个不等式,即大于等于15,但这不起作用constrOptim).

但是,有一个专门用于解决这类问题的方案Rsolnp.

您可以通过以下方式使用它:

#specify your function
opt_func <- function(x) {
  10 - 5*x[1] + 2 * x[2] - x[3]
}

#specify the equality function. The number 15 (to which the function is equal)
#is specified as an additional argument
equal <- function(x) {
  x[1] + x[2] + x[3] 
}

#the optimiser - minimises by default
solnp(c(5,5,5), #starting values (random - obviously need to be positive and sum to 15)
      opt_func, #function to optimise
      eqfun=equal, #equality function 
      eqB=15,   #the equality constraint
      LB=c(0,0,0), #lower bound for parameters i.e. greater than zero
      UB=c(100,100,100)) #upper bound for parameters (I just chose 100 randomly)

输出:

> solnp(c(5,5,5),
+       opt_func,
+       eqfun=equal,
+       eqB=15,
+       LB=c(0,0,0),
+       UB=c(100,100,100))

Iter: 1 fn: -65.0000     Pars:  14.99999993134  0.00000002235  0.00000004632
Iter: 2 fn: -65.0000     Pars:  14.999999973563  0.000000005745  0.000000020692
solnp--> Completed in 2 iterations
$pars
[1] 1.500000e+01 5.745236e-09 2.069192e-08

$convergence
[1] 0

$values
[1] -10 -65 -65

$lagrange
     [,1]
[1,]   -5

$hessian
          [,1]      [,2]      [,3]
[1,] 121313076 121313076 121313076
[2,] 121313076 121313076 121313076
[3,] 121313076 121313076 121313076

$ineqx0
NULL

$nfuneval
[1] 126

$outer.iter
[1] 2

$elapsed
Time difference of 0.1770101 secs

$vscale
[1] 6.5e+01 1.0e-08 1.0e+00 1.0e+00 1.0e+00

因此得到的最佳值是:

$pars
[1] 1.500000e+01 5.745236e-09 2.069192e-08

这意味着第一个参数是15,其余的零和零.这确实是函数中的全局最小值,因为x2正在向函数添加,而5*x1对结果的影响比x3大得多(负).根据约束,15,0,0的选择是解决方案和功能的全局最小值.

功能很棒!

Answer 2

这实际上是一个线性规划问题，因此一种自然的方法是使用线性规划求解器，例如lpSolve包。您需要提供一个目标函数和一个约束矩阵，其余的由求解器完成：

library(lpSolve)
mod <- lp("min", c(-5, 2, -1), matrix(c(1, 1, 1), nrow=1), "=", 15)

然后就可以访问最优解和目标值（加上常数项10，求解器不提供）：

mod$solution
# [1] 15  0  0
mod$objval + 10
# [1] -65

线性规划求解器应该比一般的非线性优化求解器快很多，并且应该不会有返回精确最优解的问题（而不是附近可能会出现舍入误差的点）。