垂直圆周运动:时间(x/y)与速度方程

Question

我想通过动画来模拟以下内容:
一个球在
垂直圆形环的最底部点以一定的速度开始并在其中保持滚动直到其速度允许.

为此,我想找到速度/ x/y与时间方程.
例如,如果球的质量:5Kg,圆环的半径= 10m,
球的初始速度是200m/s,它的速度和(x,y)位置
在5秒后是什么？

谢谢.

Answer 1

带有点状球的滑动,无摩擦表壳

在这种情况下,我们不担心旋转能量,并假设球实际上是点粒子.然后,为了使球保持在顶部,必须满足向心力条件:

m * v_top^2 / r = m * g

所以

v_top = sqrt(r * g)

所以最小初始速度由下式确定:

1 / 2 * m * v0^2 >= 1 / 2 * m * v_top^2 + m * g * 2 * r

v0 >= sqrt(5 * r * g)

这与皮特所说的类似,只是他忘记了向心力条件保持在顶部.

接下来,与轨道相切的加速度由下式给出:

a = - g * sin(theta)

但是a = r * alpha = r * d^2(theta)/dt^2alpha是旋转加速度.因此,我们得到

r * d^2(theta)/dt^2 = g * sin(theta)

但是,我不知道这个微分方程的解析解,Mathematica也找到了一个绊脚石.您不能只将dts 移动到另一侧并进行整合,因为theta是t的函数.我建议通过数值方法解决它,例如Runga-Kutte或者Verlet方法.我使用Mathematica为你给出的参数解决了这个问题,但是随着球的移动速度如此之快,它并没有真正减速.当我降低初始速度时,通过绘制theta作为时间的函数,我能够看到加速和减速.

添加其他东西,如有限的球半径,旋转能量和摩擦力肯定是可行的,但我担心能够在继续之前解决这个第一种情况,因为它从这里变得更加复杂.顺便说一句,在摩擦力的情况下,您必须为给定的材料选择一些动摩擦系数,这当然与轨道施加在球上的法向力成正比,这可以通过将力分量相加来解决.圆的半径,不要忘记包括向心力条件.

如果你以前没有做过这种物理,我绝对建议你获得一本关于物理学(有微积分)的介绍性好书,并通过它来完成.您只需要打扰适用于力学的部分,尽管这可能是本书的一个非常大的部分.可能有更好的路线可以追求,就像这个问题中的一些资源一样.