如何使用矢量化代码解决许多超定线性方程组？

Question

我需要解决一个线性方程组Lx = b，其中x始终是一个向量（3x1数组），L是一个Nx3数组，b是一个Nx1向量。N通常在4到10之类的范围内。

scipy.linalg.lstsq（L，b）

但是，我需要做很多次（大约200x200 = 40000次），因为x实际上是与图像中每个像素相关联的东西。因此，x实际上存储在PxQx3数组中，其中P和Q类似于200-300，最后一个数字“ 3”表示向量x。现在，我只遍历每一行每一行，并逐一求解方程。如何有效地求解那些40000个不同的线性方程组，可能使用某些矢量化技术或其他特殊方法？

谢谢

Answer 1

通过使用例程的矩阵堆栈功能，可以提高速度numpy.linalg。这不适用于numpy.linalg.lstsq，但是numpy.linalg.svd可以，因此您可以自己实现lstsq：

import numpy as np


def stacked_lstsq(L, b, rcond=1e-10):
    """
    Solve L x = b, via SVD least squares cutting of small singular values
    L is an array of shape (..., M, N) and b of shape (..., M).
    Returns x of shape (..., N)
    """
    u, s, v = np.linalg.svd(L, full_matrices=False)
    s_max = s.max(axis=-1, keepdims=True)
    s_min = rcond*s_max
    inv_s = np.zeros_like(s)
    inv_s[s >= s_min] = 1/s[s>=s_min]
    x = np.einsum('...ji,...j->...i', v,
                  inv_s * np.einsum('...ji,...j->...i', u, b.conj()))
    return np.conj(x, x)


def slow_lstsq(L, b):
    return np.array([np.linalg.lstsq(L[k], b[k])[0]
                     for k in range(L.shape[0])])    


def test_it():
    b = np.random.rand(1234, 3)
    L = np.random.rand(1234, 3, 6)

    x = stacked_lstsq(L, b)
    x2 = slow_lstsq(L, b)

    # Check
    print(x.shape, x2.shape)
    diff = abs(x - x2).max()
    print("difference: ", diff)
    assert diff < 1e-13


test_it()

一些时间表明，对于该问题大小，堆叠版本的速度大约是此处的6倍。麻烦是否值得取决于问题。