鉴于两组系统由一组数字组成,我想知道它们是否在置换下是同构的.
例如{{1,2,3,4,5},{2,4,5,6,7},{2,3,4,6,7}}是由3组5个数组成的系统.{{1,2,3,4,6},{2,3,5,6,7},{2,3,4,8,9}}是另一套3组5个数字的系统.我想检查这些系统是否是同构的.
没有.第一个系统使用数字{1,2,3,4,5,6,7},第二个系统使用数字{1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
这是另一个例子.{{1,2,3},{1,2,4},{3,4,5}}和{{1,2,4},{1,3,5},{2,3,5} }.3组3个数的这两个系统是同构的.
如果我使用置换(5 3 1 2 4),其中1变为5,2变为3,等等.第一组变为{5,3,1}.第二个变为{5,3,2}.第三个变为{1,2,4}.因此,通过这种排列的变换系统是{{5,3,1},{5,3,2},{1,2,4}},它被等效地重写为{{1,2,4},{1, 3,5},{2,3,5}}因为我对秩序不感兴趣.这是第二个系统,所以答案是肯定的.
目前,在第一个例子中,我全部申请9个!{1,2,3,...,9}对第一个系统的排列,并检查我是否能得到第二个系统.它给了我答案,但速度很慢.
有一个聪明的算法吗？
(我只想要答案,是或否.我对获得将第一个系统转换为第二个系统的排列不感兴趣.)
正如评论中指出的那样，这可能对应于图论问题，这些问题仍在研究中，关于复杂性和可用于解决这些问题的算法。
然而，复杂性总是指一些输入大小。在这里，不清楚您的输入大小是多少。例如：我认为最合适的算法可能取决于您是否要扩大规模……
使用您当前的方法，缩放数字的数量是不可行的，因为由于指数运行时间，您无法计算远大于 9 的数字的所有排列。但是，如果您的目的是检查包含 1000 个集合的集合的同构，则集合数量为多项式的算法（如果存在这样的算法）在实践中可能仍然较慢。
在这里，我想勾画一种我尝试过的方法。我并没有做一个详细的复杂性分析（如果有根本不存在多项式时间的解决方案，这可能是毫无意义的-并证明是否不能回答的主题在这里）。
基本思路如下：
最初，您计算每个输入数字的有效“域”。根据排列，这些是每个数字可以映射到的可能值。如果给定的数字是 1,2 和 3，那么域最初可能是
1 -> { 1, 2, 3 }
2 -> { 1, 2, 3 }
3 -> { 1, 2, 3 }
但是对于给定的集合，我们已经可以得出一些可以减少域的信息。例如：n在第一组中出现次数的任何数字必须映射到n在第二组中出现次数的数字。
想象给定的集合是
{{1,2},{1,3}}
{{3,1},{3,2}}
那么域只会是
1 -> { 3 }
2 -> { 1, 2 }
3 -> { 1, 2 }
因为1在第一组中出现了两次，而在第二组中出现两次的唯一值是3。
在计算出初始域后，可以对数字的可能分配（排列）进行回溯。回溯大致可以这样完成
for (each number n that has no permutation value assigned) {
assign a permutation value (from the current domain of n) to n
update the domains of all other numbers
if the domains are no longer valid, then backtrack
if the solution was found, then return it
}
（这个想法在某种程度上受到Arc Consistency 3 Algorithm 的“启发” ，尽管从技术上讲，这些问题没有直接关系）
在回溯过程中，可以采用不同的修剪标准。也就是说，人们可以想出各种技巧来快速检查某个分配（部分排列）和该分配所隐含的域是否“有效”。
最明显的（必须的）准则的分配是有效的是，没有任何结构域的可能为空。更一般地说：每个域的出现频率可能不会超过它包含的元素数量。当您发现域是
1 -> { 4 }
2 -> { 2,3 }
3 -> { 2,3 }
4 -> { 2,3 }
那么就不能再有一个有效的解决方案，算法可能会回溯。
当然，回溯往往在输入大小方面具有指数复杂性。但可能根本不存在针对此问题的有效算法。对于这种情况，与蛮力耗尽搜索相比，在回溯期间可能采用的修剪至少可以帮助减少某些情况下（或一般情况下对于小输入大小）的运行时间。
这是我在 Java 中的实验的实现。这不是特别优雅，但表明它基本上有效：如果存在解决方案，它会很快找到解决方案，并且（对于给定的输入大小）在没有解决方案时不需要很长时间即可检测到。
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collection;
import java.util.Collections;
import java.util.Comparator;
import java.util.LinkedHashMap;
import java.util.LinkedHashSet;
import java.util.List;
import java.util.Map;
import java.util.Map.Entry;
import java.util.Set;
public class SetSetIsomorphisms
{
public static void main(String[] args)
{
Map<Integer, Integer> p = new LinkedHashMap<Integer, Integer>();
p.put(0, 3);
p.put(1, 4);
p.put(2, 8);
p.put(3, 2);
p.put(4, 1);
p.put(5, 5);
p.put(6, 0);
p.put(7, 9);
p.put(8, 7);
p.put(9, 6);
Set<Set<Integer>> sets0 = new LinkedHashSet<Set<Integer>>();
sets0.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(1,2,3,4,5)));
sets0.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(2,4,5,6,7)));
sets0.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(0,8,3,9,7)));
Set<Set<Integer>> sets1 = new LinkedHashSet<Set<Integer>>();
for (Set<Integer> set0 : sets0)
{
sets1.add(applyMapping(set0, p));
}
// Uncomment these lines for a case where NO permutation is found
//sets1.remove(sets1.iterator().next());
//sets1.add(new LinkedHashSet<Integer>(Arrays.asList(4,8,2,3,5)));
System.out.println("Initially valid? "+
areIsomorphic(sets0, sets1, p));
boolean areIsomorphic = areIsomorphic(sets0, sets1);
System.out.println("Result: "+areIsomorphic);
}
private static <T> boolean areIsomorphic(
Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1)
{
System.out.println("sets0:");
for (Set<T> set0 : sets0)
{
System.out.println(" "+set0);
}
System.out.println("sets1:");
for (Set<T> set1 : sets1)
{
System.out.println(" "+set1);
}
Set<T> all0 = flatten(sets0);
Set<T> all1 = flatten(sets1);
System.out.println("All elements");
System.out.println(" "+all0);
System.out.println(" "+all1);
if (all0.size() != all1.size())
{
System.out.println("Different number of elements");
return false;
}
Map<T, Set<T>> domains = computeInitialDomains(sets0, sets1);
System.out.println("Domains initially:");
print(domains, "");
Map<T, T> assignment = new LinkedHashMap<T, T>();
return compute(assignment, domains, sets0, sets1, "");
}
private static <T> Map<T, Set<T>> computeInitialDomains(
Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1)
{
Set<T> all0 = flatten(sets0);
Set<T> all1 = flatten(sets1);
Map<T, Set<T>> domains = new LinkedHashMap<T, Set<T>>();
for (T e0 : all0)
{
Set<T> domain0 = new LinkedHashSet<T>();
for (T e1 : all1)
{
if (isFeasible(e0, sets0, e1, sets1))
{
domain0.add(e1);
}
}
domains.put(e0, domain0);
}
return domains;
}
private static <T> boolean isFeasible(
T e0, Set<Set<T>> sets0,
T e1, Set<Set<T>> sets1)
{
int c0 = countContaining(sets0, e0);
int c1 = countContaining(sets1, e1);
return c0 == c1;
}
private static <T> int countContaining(Set<Set<T>> sets, T value)
{
int count = 0;
for (Set<T> set : sets)
{
if (set.contains(value))
{
count++;
}
}
return count;
}
private static <T> boolean compute(
Map<T, T> assignment, Map<T, Set<T>> domains,
Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1, String indent)
{
if (!validCounts(domains.values()))
{
System.out.println(indent+"There are too many domains "
+ "with too few elements");
print(domains, indent);
return false;
}
if (assignment.keySet().equals(domains.keySet()))
{
System.out.println(indent+"Found assignment: "+assignment);
return true;
}
List<Entry<T, Set<T>>> entryList =
new ArrayList<Map.Entry<T,Set<T>>>(domains.entrySet());
Collections.sort(entryList, new Comparator<Map.Entry<T,Set<T>>>()
{
@Override
public int compare(Entry<T, Set<T>> e0, Entry<T, Set<T>> e1)
{
return Integer.compare(
e0.getValue().size(),
e1.getValue().size());
}
});
for (Entry<T, Set<T>> entry : entryList)
{
T key = entry.getKey();
if (assignment.containsKey(key))
{
continue;
}
Set<T> domain = entry.getValue();
for (T value : domain)
{
Map<T, Set<T>> newDomains = copy(domains);
removeFromOthers(newDomains, key, value);
assignment.put(key, value);
newDomains.get(key).clear();
newDomains.get(key).add(value);
System.out.println(indent+"Using "+assignment);
Set<Set<T>> setsContainingKey =
computeSetsContainingValue(sets0, key);
Set<Set<T>> setsContainingValue =
computeSetsContainingValue(sets1, value);
Set<T> keyElements = flatten(setsContainingKey);
Set<T> valueElements = flatten(setsContainingValue);
for (T otherKey : keyElements)
{
Set<T> otherValues = newDomains.get(otherKey);
otherValues.retainAll(valueElements);
}
System.out.println(indent+"Domains when "+assignment);
print(newDomains, indent);
boolean done = compute(assignment, newDomains,
sets0, sets1, indent+" ");
if (done)
{
return true;
}
assignment.remove(key);
}
}
return false;
}
private static boolean validCounts(
Collection<? extends Collection<?>> collections)
{
Map<Collection<?>, Integer> counts =
new LinkedHashMap<Collection<?>, Integer>();
for (Collection<?> c : collections)
{
Integer count = counts.get(c);
if (count == null)
{
count = 0;
}
counts.put(c, count+1);
}
for (Entry<Collection<?>, Integer> entry : counts.entrySet())
{
Collection<?> c = entry.getKey();
Integer count = entry.getValue();
if (count > c.size())
{
return false;
}
}
return true;
}
private static <K, V> Map<K, Set<V>> copy(Map<K, Set<V>> map)
{
Map<K, Set<V>> copy = new LinkedHashMap<K, Set<V>>();
for (Entry<K, Set<V>> entry : map.entrySet())
{
K k = entry.getKey();
Set<V> values = entry.getValue();
copy.put(k, new LinkedHashSet<V>(values));
}
return copy;
}
private static <T> Set<Set<T>> computeSetsContainingValue(
Iterable<? extends Set<T>> sets, T value)
{
Set<Set<T>> containing = new LinkedHashSet<Set<T>>();
for (Set<T> set : sets)
{
if (set.contains(value))
{
containing.add(set);
}
}
return containing;
}
private static <T> void removeFromOthers(
Map<T, Set<T>> map, T key, T value)
{
for (Entry<T, Set<T>> entry : map.entrySet())
{
if (!entry.getKey().equals(key))
{
Set<T> values = entry.getValue();
values.remove(value);
}
}
}
private static <T> Set<T> flatten(
Iterable<? extends Collection<? extends T>> collections)
{
Set<T> set = new LinkedHashSet<T>();
for (Collection<? extends T> c : collections)
{
set.addAll(c);
}
return set;
}
private static <T> Set<T> applyMapping(
Set<T> set, Map<T, T> map)
{
Set<T> result = new LinkedHashSet<T>();
for (T e : set)
{
result.add(map.get(e));
}
return result;
}
private static <T> boolean areIsomorphic(
Set<Set<T>> sets0, Set<Set<T>> sets1, Map<T, T> p)
{
for (Set<T> set0 : sets0)
{
Set<T> set1 = applyMapping(set0, p);
if (!sets1.contains(set1))
{
return false;
}
}
return true;
}
private static void print(Map<?, ?> map, String indent)
{
for (Entry<?, ?> entry : map.entrySet())
{
System.out.println(indent+entry.getKey()+": "+entry.getValue());
}
}
}