大圆和菱形线交叉点

Question

我有一个纬度、经度和一个以真北度数表示的行进方向。我想计算我是否会与另外两个纬度/经度点定义的线相交。

我认为定义这条线的两个点将创建我的大圆，而我的位置和方位角将定义我的 Rhumb 线。

我只对几百公里内会发生的交叉路口感兴趣，所以我不需要所有可能的解决方案。

我不知道从哪里开始。

Answer 1

简单的答案是肯定的——如果您从任何纬度/经度开始并继续沿着某个大圆旅行，您最终将穿越地球上的任何和所有其他大圆。地球上每两个大圆正好在两个点上相互交叉（除了两个相同的大圆，它们的所有点都相互交叉。）

但我想你不仅仅是在问是/否问题。您可能想知道这两个大圆究竟在哪里相交。我们可以使用以下策略来找出答案：

每个大圆都位于穿过地球中心的平面上。
这些平面的交点是一条线（假设它们不是完全相同的平面。）
这条相交线在两点穿过地球表面——正是我们两个大圆相交的地方。
因此，我们的任务是：（1）找到飞机。(2)找到它们的交点。(3) 找到两个交点，最后， (4) 用纬度/经度表示这些交点。(5) 找出哪个交叉点更接近您开始的纬度/经度的额外功劳。

听起来不错？下面用三角函数和向量数学来做这件事。为了稍微简化数学，我们将：

第 1 步——找到飞机：

我们真正关心的是平面法线。以下是我们如何找到它们：

--一个大圆是由它所穿过的地球上的两点定义的

法线将是来自原点 (0,0,0) 的每个点的 (x,y,z) 向量的叉积。给定每个点的纬度/经度，使用球坐标转换，对应的(x,y,z)为：

x=cos(lat)*sin(lon)
y=cos(lat)*cos(lon)
z=sin(lat)

有了这个，我们给定的两个点分别为 lat1/lon1 和 lat2/lon2，我们可以找出向量 P1=(x1,y1,z1) 和 P2=(x2,y2,z2)。

第一个大圆法线是叉积：

N1=P1 x P2

--另一个大圆由地球上的一个点和一个方位角定义

我们有一个点 P3 和一个方位角 T。我们将找到一个点 P4，沿着大圆穿过 P3 在方位角 T 处，使用余弦的球面定律（为了方便起见，这里也求解）：

lat4=asin(cos(lat3)*cos(T))
lon4=lon3+atan2(sin(T)*cos(lat3),-sin(lat3)*sin(lat4))

然后正常情况和以前一样：

N2=P3 x P4

第 2 步：找到平面相交线：

给定两个平面法线，它们的叉积定义了它们的相交线：

L=N1 x N2

第3步：找到交点：

只需将向量 L归一化即可获得单位球面上的交点之一。另一点在球体的另一侧：

X1=L/|L|
X2=-X1

第 4 步：用纬度/经度表示交点：

给定 X=(x,y,z)，再次使用球坐标转换，并考虑到点在单位球面上：

lat=asin(z)
lon=atan2(y,x)

第 5 步：两点中哪一个更接近？

使用半正弦公式计算您的点到 X1 和 X2 的距离，选择较近的一个。