MATLAB - 在没有工具箱的情况下拟合指数曲线

Question

我想对绘制的数据拟合衰减指数.我没有曲线拟合或优化工具箱.

x = [0    0.0036    0.0071    0.0107    0.0143    0.0178    0.0214    0.0250    0.0285    0.0321    0.0357    0.0392    0.0428    0.0464    0.0464];
y = [1.3985    1.3310    1.2741    1.2175    1.1694    1.1213    1.0804    1.0395    1.0043    0.9691    0.9385    0.9080    0.8809    0.7856    0.7856];

figure()
plot(x,y,'*')

我怎样才能在MATLAB中实现这一目标？

Answer 1

假设输入和输出点之间存在高斯分布误差,并假设误差是加性的,则可以通过经典最小二乘法求解.它归结为具有超定线性方程组,其中每个约束定义一个输入 - 输出观察.以最少的残余误差求解这个超定线性系统是您正在寻找的解决方案.

警告

Jubobs在下面对我的评论中提出了一个非常有趣的观点.通常,最小化该残余误差的参数不会使原始问题的残留误差最小化.这个线性化步骤允许我们以更简单的方式解决参数,但这不是等效问题.但是,它通常在实践中被接受,因为解决方案足够好.

为了将其变为线性系统,我们需要做一些巧妙的重新排列.因为您希望使用指数模型拟合一系列点,所以输入x和输出之间的关系y是:

为了使其成为"线性",我们可以采用双方的自然对数:

通过使用这个事实ln(ab) = ln(a) + ln(b),我们有:

也知道 ,这简化为:

如您所见,上面的等式现在相对于对数空间是"线性的".给定的一串x和y值,因此(x_1, x_2, ..., x_n)和(y_1, y_2, ..., y_n),我们就可以一起在一个线性系统串连一堆方程:

如果我们ln(A) = A'为了方便记法而重新排列,以便它以矩阵形式,我们得到:

因此,我们只需要解决A'和b,你可以通过做伪逆.具体来说,上述问题的形式如下:

因此,我们需要解决X,所以:

M^{+}是矩阵的伪逆.完成后,只需打开exp操作员A'即可获得原件A.MATLAB具有非常高效的线性系统求解器和最小二乘求解器.具体来说,您可以使用\或ldivide运算符.您所要做的就是M从x值创建矩阵,创建y值向量并解决您的系统.这很简单:

x = ...; %// Define numbers here - either row or column vectors
y = ...;
M = [ones(numel(x),1), x(:)]; %// Ensure x is a column vector
lny = log(y(:)); %// Ensure y is a column vector and take ln

X = M \ lny; %// Solve for parameters
A = exp(X(1)); %// Solve for A
b = X(2); %// Get b

因此,使用您的x和y值,这就是我得到的:

A =

    1.3882

b = 

   -11.508

如果我们绘制上述点以及符合该线的指数曲线,我们可以:

xval = linspace(min(x), max(x));
yval = A*exp(b*xval);
plot(x,y,'r.',xval,yval,'b');

第一行代码定义了一组x跨越x我们数据集的最小值和最大值的值.对于下一行,我们然后获取x值并通过指数模型运行它们.最后,我们将原始数据点以及指数曲线与上述过程中找到的参数一起绘制.点为红色,而线为蓝色.

我们得到:

我认为这看起来很不错!对于那些注意到的人,上面的图看起来与MATLAB生成的普通图和图窗口略有不同.该图是在Octave中生成的,因为我目前正在处理的计算机上没有MATLAB.但是,上面的代码仍然可以在MATLAB中使用.