如何找到具有邻接矩阵表示的有向图的通用汇

Question

我正在做一个练习（自学）：“展示如何确定一个有向图 G 是否包含一个通用链接——一个具有入度 (V-1)（V 是顶点数）和出度的顶点——时间为 O(V) 的 0 度，给定 G 的邻接矩阵。我在这里编写了代码：

    int UniversalSink(const int *a, int N)
{
    int i,j,i1,j1,q;
    i=0;


    i=0;
    q=YES;
    j=-1;
    do
    {
    j++;
    if (j==N)
        break;

    while ( (*(a+i*MAX+j)) ==0 )
    {
        j++;
        if (j==N)
        {

        break;
        }
    }
    if (j==N)
        break;
    q= YES;

    for (; i<j; i++)
        if ( (*(a+i*MAX+j)) ==0 )
        {
           i=j,j=i-1;
           q= NO;
           break;
        }
    if (q==NO)
        continue;
    q=YES;

    /*
    for (i=0; i<=j; i++ )
        if (a[j][i] ==1 )
        {
        i=j;
        q=NO;
        ok=NO;
        trai = NO;
        break;

        }
    if (q==NO)
        continue;
    */
    q=YES;

    for (i1= j+1; i1<N; i1++)
        if ((*(a + i1*MAX +j)) ==0 )
        {
        i=i1, j=i-1;
        q=NO;
        break;

        }
    if (q==NO)
        continue;
    }
    while (j<N);

    {
    i1=i;
    for (j1=0; j1<N;j1++)
        if ( (*(a + i1*MAX +j1 ))  ==1 )
        return -1;
    j1=i;
    for (i1=0; i1<N;i1++)
    {
        if (i1==j1)
        continue;
        if ( (*(a + i1*MAX +j1))==0)
        return -1;
    }
    return i;

    }
  

它需要一个 NN 矩阵并返回通用接收器的位置（如果存在则为 0 到 N-1，如果不存在则为 -1）但是我真的不知道它是否为 O(V)，并且在事实上，我不确定它是否会始终计算出所需的结果

（随意评论我的代码的任何其他方面，例如使用太多中断）

Answer 1

您可以使用以下代码：

int DetectSink(matrix G, int V) {
    int i = 0;
    int j = 0;
    while (i < V && j < V)
        if (G[i][j])
             i = i + 1;
        else j = j + 1;
    if (i < V && IsSink(G, i)) return i;
    return -1;
}

如果 k 是一个通用汇，那么邻接矩阵 ( G) 的第 k 行将全为 0，第 k 列将全为 1（除了G[k][k] = 0）。

OBS：我们可以得出结论，最多只有一个汇。

如果在 中k存在通用汇G，那么最终我们会得到位置(i = k, j)或(i, j = k)。

            k
  +---+---+---+---+---+
  |   |   | 1 |   |   |
  +---+---+---+---+---+
  |   |   | 1 |   |   |
  +---+---+---+---+---+
k | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
  +---+---+---+---+---+
  |   |   | 1 |   |   |
  +---+---+---+---+---+
  |   |   | 1 |   |   |
  +---+---+---+---+---+

如果我们到达行 k (j=k)之前的列 k (i=k)，我们的算法执行 then 块直到 (i = k, j = k)，然后它执行else块直到(i = k, j = V)。在其他情况下，如果第 k 行比第 k 列先到达，则else块会执行​​到 while 循环的末尾，直到(i = k, j = V)。

最后，我们必须检查是否i是通用汇，因为我们知道汇是否存在i，但我们不知道如果通用汇不存在，我们的算法将做什么G。

运行时间是O(V)，因为在每一步中我们都会增加i或j，所以最多发生2V这样的操作。该IsSink部分O(V)。

使用 Divide & Conquer 有一个很好的解决方案：

在这个解决方案中，我们将一组候选对象保留到通用接收器中，并且在每一步中，我们制作顶点对并丢弃两个顶点中的一个，以便分析初始候选对象的一半。