提高超越方程解的精度

Question

我有一个特定的运动学作为一个更复杂的机器的一部分,需要计算一些非常困难(更不可能)的物理参数,用我可以使用的仪器以适当的精度进行测量

[运动学]

首先看它是一个简单1的自由度臂(黑色),它可以围绕x轴旋转.它有一个重量,迫使它一直向上,直到它达到机械终点(角度a0)或一些半径的管(蓝色)r0.手臂旋转中心位于y0.管可以移动到任何y(t)高度.

[用法]

这用于测量管的半径以进行进一步处理.可以计算半径(通过基本测角仪),这导致图像底部的方程.常数a0,y0,z0非常难以测量(它在复杂的机械内部),因此距离的测量精度是最小值0.1 mm和角度0.1 deg,甚至是有问题的.

[校准]

所以我决定尝试从机器本身完成的一组测量中计算这些参数(自动校准).所以我有已知半径的校准管r0.所有绿色参数都可以作为常量处理.现在我沿着y轴定位管子以尽可能多地覆盖手臂的角度.遗憾的是,该范围仅为20 degrees(对于当前的机器设置)记住测量a(t)的预设y(t)...作为n点数据集.这给了我n超越方程组.从此我尝试/猜测a0,y0,z0记住最佳解决方案的"所有"可能性(最接近r0)

[近似a0,y0,z0]

近似是基于这类矿井:

//---------------------------------------------------------------------------
class approx
    {
public:
    double a,aa,a0,a1,da,*e,e0;
    int i,n;
    bool done,stop;

    approx()            { a=0.0; aa=0.0; a0=0.0; a1=1.0; da=0.1; e=NULL; e0=NULL; i=0; n=5; done=true; }
    approx(approx& a)   { *this=a; }
    ~approx()           {}
    approx* operator = (const approx *a) { *this=*a; return this; }
    //approx* operator = (const approx &a) { ...copy... return this; }

    void init(double _a0,double _a1,double _da,int _n,double *_e)
        {
        if (_a0<=_a1) { a0=_a0; a1=_a1; }
        else          { a0=_a1; a1=_a0; }
        da=fabs(_da);
        n =_n ;
        e =_e ;
        e0=-1.0;
        i=0; a=a0; aa=a0;
        done=false; stop=false;
        }
    void step()
        {
        if ((e0<0.0)||(e0>*e)) { e0=*e; aa=a; }         // better solution
        if (stop)                                       // increase accuracy
            {
            i++; if (i>=n) { done=true; a=aa; return; } // final solution
            a0=aa-fabs(da);
            a1=aa+fabs(da);
            a=a0; da*=0.1;
            a0+=da; a1-=da;
            stop=false;
            }
        else{
            a+=da; if (a>a1) { a=a1; stop=true; }       // next point
            }
        }
    };
//---------------------------------------------------------------------------

它通过一些初始步骤搜索整个单变量,然后找到最小偏差点.之后改变范围和步骤以关闭该点的区域并递归地提高准确度.

解决方案本身如下所示:

// (global) input data
#define _irc_calib_n 100
#define _irc_approx_n 5
int    irc_calib_ix; // number of measured points
double irc_calib_y[_irc_calib_n]; // y(t)
double irc_calib_a[_irc_calib_n]; // a(t)
double irc_calib_r; // calibration tube radius + arm radius

// approximation
int ix=0;
double e,a,deg=M_PI/180.0;
approx aa,ay,az;
//           min       max       step     recursions    ErrorOfSolutionVariable
for (aa.init(-90.0*deg,+90.0*deg,10.0*deg,_irc_approx_n,&e);!aa.done;aa.step())
for (ay.init(  0.0    ,200.0    ,10.0    ,_irc_approx_n,&e);!ay.done;ay.step())
for (az.init( 50.0    ,400.0    ,10.0    ,_irc_approx_n,&e);!az.done;az.step())
    {
    for (e=0.0,ix=0;ix<_irc_calib_n;ix++) // test all measured points (e is cumulative error)
        {
        a=irc_calib_a[ix]+aa.a;
        if (a> pi) a-=pi2;
        if (a<-pi) a+=pi2;
        if (fabs(a)>0.5*pi) { e=100.0; break; } // ignore too far angles
        e+=fabs(+(cos(a)*(irc_calib_y[ix]-ay.a))
                -(sin(a)*(az.a))
                -(irc_calib_r));
        }
    }
// here aa.a,ay.a,az.a holds the result

这导致解决方案接近测量值但在内部模拟中结果仍然不够准确.根据点数和角度范围,它为0.1 mm至0.5 mm.如果我正确测量z0并忽略其近似值,那么精度会显着提高而y0不会出现错误(在模拟中)并且a0误差大约为0.3度

Q1如何进一步提高解决方案的准确性？

我不能增加角度范围.点数100越多越精确越好但超过150时结果不稳定(对于某些半径,它完全关闭).绝对不知道为什么.上面的递归数6没有太大影响

可以根据角距离来帮助加权偏差0 degree吗？但可悲的是,a(t)范围并不一定包括在内0 degrees

期望的准确性是0.01 mm为了y0,z0和0.01 degree为a0

Q2有没有我错过的东西？

像错误的嵌套近似或一些数学简化或不同的方法

[笔记]

该角度必须是形式的,a(t)+a0因为它是由IRC用SW复位(16000 steps/round)测量的.它在a0位置时被重置,我不计算振动和校准管偏心,它们已经被照顾,我的第一个目标是在没有它们的情况下进行模拟.管y(t)可以自由定位,a(t)测量可以随意进行.

现在,校准过程沿y轴线扫描点(从a0向下移动).6递归计算大约需要35几秒钟(因此请耐心等待).5递归大约需要22几秒钟

[edit1]这里是如何进行模拟的

approx aa; double e;
for (aa.init(-90.0*deg,+90.0*deg,10.0*deg,6,&e);!aa.done;aa.step())
 e=fabs(+(cos(aa.a)*(y(t)-y0))
        -(sin(aa.a)*(z0))
        -(irc_calib_r));
if (aa.a<a0) aa.a=a0;

[edit2]一些价值观

刚刚意识到我只4在模拟代码中递归以匹配输入的IRC精度,那么必须有6递归.更改后(也在之前的编辑中)这里有一些结果

                | a0[deg]| y0[mm] | z0[mm] | 
    simulated   | -7.4510|191.2590|225.9000|
    z0 known    | -7.4441|191.1433|225.9000|
    z0 unknown  | -7.6340|191.8074|225.4971|

因此,z0测量的精度几乎在期望的范围内,但是在z0未知的情况下,误差仍然~10大于所需的时间.提高模拟精度对6递归没有影响,也没有意义,因为实际输入数据也不会更准确.

这里是使用上述模拟设置进行测试的模拟/测量点:

 ix   a [deg]    y [mm]
  0   -0.2475 +105.7231 
  1   -0.4500 +104.9231 
  2   -0.6525 +104.1231 
  3   -0.8550 +103.3231 
  4   -1.0575 +102.5231 
  5   -1.2600 +101.7231 
  6   -1.4625 +100.9231 
  7   -1.6650 +100.1231 
  8   -1.8675  +99.3231 
  9   -2.0700  +98.5231 
 10   -2.2725  +97.7231 
 11   -2.4750  +96.9231 
 12   -2.6775  +96.1231 
 13   -2.8575  +95.3077 
 14   -3.0600  +94.5154 
 15   -3.2625  +93.7231 
 16   -3.4650  +92.9308 
 17   -3.6675  +92.1385 
 18   -3.8700  +91.3462 
 19   -4.0725  +90.5538 
 20   -4.2750  +89.7615 
 21   -4.4877  +88.9692 
 22   -4.6575  +88.1769 
 23   -4.8825  +87.3615 
 24   -5.0850  +86.5154 
 25   -5.2650  +85.7000 
 26   -5.4675  +84.9077 
 27   -5.6700  +84.1154 
 28   -5.8725  +83.3231 
 29   -6.0750  +82.5308 
 30   -6.2775  +81.7000 
 31   -6.5025  +80.8462 
 32   -6.6825  +80.0462 
 33   -6.8850  +79.2538 
 34   -7.0875  +78.4615 
 35   -7.2900  +77.6538 
 36   -7.5159  +76.7692 
 37   -7.6725  +75.9769 
 38   -7.8750  +75.1846 
 39   -8.1049  +74.3692 
 40   -8.2800  +73.5000 
 41   -8.4825  +72.7077 
 42   -8.6850  +71.9154 
 43   -8.9100  +71.0308 
 44   -9.0900  +70.2231 
 45   -9.2925  +69.4308 
 46   -9.5175  +68.5462 
 47   -9.6975  +67.7462 
 48   -9.9000  +66.9462 
 49  -10.1025  +66.0615 
 50  -10.3148  +65.2692 
 51  -10.4850  +64.3769 
 52  -10.6875  +63.5846 
 53  -10.9125  +62.7462 
 54  -11.0925  +61.9077 
 55  -11.2950  +61.0846 
 56  -11.4975  +60.2231 
 57  -11.7000  +59.3923 
 58  -11.9025  +58.5308 
 59  -12.1288  +57.6692 
 60  -12.3075  +56.8385 
 61  -12.5100  +55.9462 
 62  -12.7125  +55.1538 
 63  -12.9150  +54.2615 
 64  -13.1175  +53.4000 
 65  -13.2975  +52.5769 
 66  -13.5000  +51.6846 
 67  -13.7025  +50.7923 
 68  -13.9050  +50.0000 
 69  -14.1075  +49.1077 
 70  -14.3100  +48.2154 
 71  -14.5350  +47.3615 
 72  -14.7150  +46.5308 
 73  -14.9175  +45.6385 
 74  -15.1200  +44.7462 
 75  -15.3225  +43.8538 
 76  -15.5250  +42.9615 
 77  -15.7490  +42.0692 
 78  -15.9075  +41.2769 
 79  -16.1100  +40.3846 
 80  -16.3125  +39.4923 
 81  -16.5150  +38.6000 
 82  -16.7175  +37.7077 
 83  -16.9200  +36.8154 
 84  -17.1225  +35.9231 
 85  -17.3250  +34.9308 
 86  -17.5275  +34.0385 
 87  -17.7300  +33.1462 
 88  -17.9325  +32.2538 
 89  -18.1350  +31.3615 
 90  -18.3405  +30.4692 
 91  -18.5175  +29.4769 
 92  -18.7200  +28.5846 
 93  -18.9225  +27.6923 
 94  -19.1250  +26.8000 
 95  -19.3275  +25.8077 
 96  -19.5300  +24.9154 
 97  -19.7325  +23.9231 
 98  -19.9350  +23.0308 
 99  -20.1375  +22.1385 

[edit3]进度更新

@Ben的一些澄清

这个怎么运作

第一张图像下的彩色等式为您提供r0了由2个连接90 degree三角形组成的半径(基本三角法)

红色的东西:

• y(t) 是电机位置,它是众所周知的
• a(t) 是IRC国家也知道

绿色的东西:

• a0,y0,z0是机械尺寸,并且已知但不精确,因此我使用已知校准管测量许多a(t)不同位置,并从中计算出更高的精度y(t)r0a0,y0,z0

进一步提高精度

实际上,我通过精确测量y1=y0+z0*cos(a0)特殊校准运动并使其更好地设法使其更精确0.03 mm.它是臂在a0位置和管y运动轴之间的交叉高度.当管子从上到下进行第一次接触时,它是根据情况进行测量和插补的,但实际位置必须用半径重新计算并且a0...因为接触点不在此轴上......(除非r0=0.0).这也消除了校准的一个近似循环,因为它y1,a0,z0是相关的并且可以相互计算.由于不连续的测量和a(t),y(t)位置方式,从IRC的测量中消除双混叠有助于提高精度和计算稳定性(在真实机器上).我现在无法可靠地评估准确性,因为通过对许多测量周期的分析,我在机器上发现了一些机械问题,所以我等到它被修复了.无论如何,校准与模拟的准确性对于r0=80.03 mm两种方法_irc_calib_n=30都是如此,现在是:

    ;      computed     simulated  |delta|
    a0=  -6.915840 ;  -6.916710   +0.000870 deg
    y0=+186.009765 ;+186.012822   +0.003057 mm
    y1=+158.342452 ;+158.342187   +0.000264 mm
    z0=+228.102470 ;+228.100000   +0.002470 mm

校准越大,r0精度越低(由于a(t)范围越大),这是通过计算所有a0,y0,(y1),z1没有直接测量或已知的.这已经可以接受,但正如我之前所写,需要在准备好时检查机器.这里要完成的是模拟测量现在的样子:

[edit4]请参阅近似搜索的工作原理

Answer 1

如果我理解正确的话，您将尝试根据 y 和 a 的测量来推断（而不是 测量）管的半径 r0 。

将通常的误差传播应用到 r0 的公式中，即可获得所得 r0 的误差（估计值）。在小角度的限制下（此处适用，因为 a(t) 被限制为 20 度），这粗略地给出（使用三角函数的小角度近似）

dr0^2 ~= dy^2 + z0^2 (pi*da/180)^2

因此，在r0远小于z0的情况下，r0上的相对误差总是远大于y和z0*sin(a)的相对误差。从你的图表中已经可以清楚地看出：测量的数量仅微弱地依赖于 r0。

换句话说，这不是确定半径r0的聪明方法。对于这个基本限制，您无能为力（除非您可以增加角度 a 的范围）。进行许多测量（消除噪音/错误的常用方法）可能不会有帮助，因为由于机器的内部工作原理，这些测量并不是彼此独立的。因此，唯一的帮助就是更准确的测量。

为了分析这种情况，我建议将推断的 r0 绘制为 y 的函数，或者将 y 绘制为固定 r0 的 a 函数。