四元数达到万向节锁定

Question

为了避免在执行旋转时发生角度锁定，我尝试切换到四元数。不知何故，我仍然设法达到云台锁定。

我不确定是否是由于实施的数学方法或设计错误引起的，所以请指出是否应该更改对象坐标的方法。

我的每个对象都有一个X，Y，Z值和一个俯仰，偏航，横滚值。当我更改旋转值时，对象将根据以上信息重新计算其顶点。此逻辑如下：

    // vertex array
    vertices[x] -= /*Offset by origin point*/;

    // Quat.'s representing rotation around xyz axes
    Quaternion q1 = Quaternion(glm::vec3(1,0,0),pitch);
    Quaternion q2 = Quaternion(glm::vec3(0,1,0),yaw); 
    Quaternion q3 = Quaternion(glm::vec3(0,0,1),roll); 

    // total rotation
    Quaternion TotalRot = ( (q3 * q2) * (q1) ); 

    // conversion of original coordinates to quaternion
    Quaternion Point1 = Quaternion(0, vertices[x].x(), vertices[x].y(), vertices[x].z()); 

    // resulting rotated point
    Quaternion Point2 = Quaternion( (TotalRot * Point1) * TotalRot.inverse() );

    // placing new point back into vertices array
    vertices[x] = QVector3D(round(Point2.v.x),round(Point2.v.y),round(Point2.v.z));
    vertices[x]+= /*Undo origin point offset*/;

“ vertices []”是对象顶点数组。上面注释掉的原点偏移量只是为了使对象围绕正确的原点旋转，因此由于围绕该点旋转（相对于？），所以它相对于0,0,0进行了偏移。

我以图形方式表示了我的问题，我先以90度偏航，以45度倾斜，然后以-90度滚动，但滚动轴变得平行于俯仰轴：

编辑：

我尝试将这三个轴四元数相乘，然后乘以4x4矩阵，再乘以我的顶点，但是我仍然是万向节锁定/达到奇点！

    Quaternion q1 = (1,0,0,pitch);
    Quaternion q2 = (0,1,0,yaw);
    Quaternion q3 = (0,0,1,roll);
    Quaternion qtot = (q1*q2)*q3;
    Quaternion p1(0, vertices[x].x(), vertices[x].y(), vertices[x].z());
    QMatrix4x4 m;
    m.rotate(qtot);
    QVector4D v = m*p1;
    vertices[x] = QVector3D(v.x(),v.y(),v.z());

Answer 1

如果您采用欧拉角表示并将其转换为四元数只是为了进行矢量旋转，那么您仍然只是使用欧拉角。只要您在任何地方都涉及欧拉角，万向节锁定问题就会一直存在。如果您想完全消除该问题，您需要完全切换到四元数并且永远不要在任何地方使用欧拉角表示。

这样做的基本方法是，您可以在计算的远端使用欧拉角（作为原始输入或作为最终输出），如果这对您更方便（例如，欧拉角通常更“人性化”）可读”表示）。但是，将四元数用于其他所有内容（并且您可以偶尔转换为旋转矩阵，因为它们对于旋转向量更有效），并且永远不要对任何“坏”旋转表示（欧拉角、轴角等）进行中间转换.) 四元数和旋转矩阵的“无万向节锁定”优势仅适用于在所有计算中坚持使用这两种表示的情况。

因此，一方面，您有单数表示（“万向节锁”的正式术语是单数）：

• 欧拉角（任何种类的，顺便说一下，其中有 12 个）；和
• 轴角。

另一方面，您有无奇点表示：

• 四元数（更高效的内存和组合操作）；和
• 旋转矩阵（更有效地将旋转应用于向量）。

每当您使用奇异表示操作（例如将多个旋转放在一起，或移动旋转对象）时，您将不得不在每次计算中担心该奇异性。当您使用无奇点表示执行相同的操作时，您不必担心（但您必须担心约束，即四元数的单位范数约束和旋转矩阵的适当正交性）。当然，任何时候当您转换为单数表示或从单数表示转换时，您都必须担心奇点。这就是为什么您应该只在计算的远端（进入或离开时）进行转换，否则在整个计算过程中都坚持使用非奇异表示。

欧拉角的唯一好的目的是为了人类的可读性，句号。

Answer 2

您的问题是，即使在使用四元数时，仍要存储三个音高，偏航和侧倾值，而不是四元数来表示对象的方向。

这是在此处使用四元数旋转的方法：

1. 而不是为每个对象存储X，Y，Z，俯仰，偏航，侧倾，而是orientation 在每个对象中存储X，Y，Z ，其中orientation四元数从初始值（0、0、0、1）开始，这意味着没有旋转。存储每个对象的俯仰，偏航和横滚很容易受到奇异性的影响（万向锁定），因为添加很小的变化后，中间旋转之一（例如，俯仰）可能会导致该对象与旋转轴平行（例如，偏航轴），因此围绕该轴的下一个旋转可能会失败。

2. 然后，在旋转对象时，确定在该帧期间发生的该对象的俯仰，偏航和滚动（假设您的输入设备以该形式提供旋转），将其转换为四元数，然后将该四元数预乘进入对象的orientation四元数。这种方法不太容易受到奇异性的影响，因为旋转的变化预计在每帧中都非常小。

3. verticies更改方向后，请勿直接修改对象的X，Y和Z（数组）。相反，当对象的方向发生变化时，请创建一个新的旋转矩阵作为该对象的世界变换矩阵的一部分（以及缩放和平移；为获得最佳结果，请将世界变换计算为translation * rotation * scaling）。

4. 每隔几帧，应对orientation四元数进行归一化处理，以避免由于舍入误差而导致方向发生不良变化。