傅立叶变换和滤波具有负 fft 值的频率

Question

我正在寻找周期信号中最丰富的频率。我试图了解如果对周期信号执行傅立叶变换并过滤具有负 fft 值的频率，会得到什么。

换句话说，图 2 和图 3（见下文）的轴表示什么？我正在绘制 fft 转换信号上的频率（周期/秒） - y 轴上的负值意味着什么，我只对这些感兴趣是否有意义？

import numpy as np
import scipy

# generate data
time = scipy.linspace(0,120,4000)
acc = lambda t: 10*scipy.sin(2*pi*2.0*t) + 5*scipy.sin(2*pi*8.0*t) + 2*scipy.random.random(len(t))
signal = acc(time)

# get frequencies from decomposed fft
W =  np.fft.fftfreq(signal.size, d=time[1]-time[0])
f_signal = np.fft.fft(signal)

# filter signal
# I'm getting only the "negative" part!
cut_f_signal = f_signal.copy()
# filter noisy frequencies
cut_f_signal[(W < 8.0)] = 0
cut_f_signal[(W > 8.2)] = 0

# inverse fourier to get filtered frequency
cut_signal = np.fft.ifft(cut_f_signal)

# plot
plt.subplot(221)
plt.plot(time,signal)
plt.subplot(222)
plt.plot(W, f_signal)
plt.subplot(223)
plt.plot(W, cut_f_signal)
plt.subplot(224)
plt.plot(time, cut_signal)
plt.show()

Answer 1

实值输入信号的 FFT 将产生共轭对称结果。（这正是数学最有效的方式。）因此，对于仅真实数据的 FFT 结果幅度，负频率只是正频率的镜像副本，因此在分析结果时可以忽略不计。

但是，如果您想进行逆运算并计算 IFFT，则需要向 IFFT 提供频率数据的共轭对称负半部分（或上半部分，高于 Fs/2），否则您的 IFFT 结果最终将产生复数结果（例如，对于非零虚部（sqrt(-1)）分量，在处理基带实数数据时很少需要这样的结果）。

如果您想要过滤 FFT 数据并最终获得 IFFT 的实际结果，则需要以相同的方式对称地过滤正频率和负频率，以保持所需的对称性。

FFT 还产生复数结果，其中每个结果箱的分量（实部和虚部）的值和符号表示分量基向量（复正弦曲线，或实余弦加实正弦分量）的相位和幅度。任何负值仅代表相同结果为正时的相位旋转。